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第五章 附有限制条件的条件平差 §5-2 精度评定 一、单位权方差估值的计算公式 二、各种向量的协因数阵 §5-3 各种平差方法的共性和特性 §5-4 平差结果的统计性质 一、估计量 和 均为无偏估计 二、估计量 具有最小方差 三、估计量具有最小方差 四、单位权方差估值 是 的无偏估计量 §5-5 习 题 附有参数的条件平差需要选择u个参数，且u t,参数之间要求必须独立，通过列立观测值之间或观测值与参数之间满足的条件方程来建立函数模型，方程的个数为c r+u个，法方程的个数为r+u个。常适合于下述情况：需要求个别非直接观测量的平差值和精度时，可以将这些量设为参数；当条件方程式通过直接观测量难以列立时，可以增选非观测量作为参数，以解决列立条件式的困难。 间接平差需要选择u t个参数，而且要求这t个参数必须独立，模型建立的方法是将每一个观测值表示为所选参数的函数，方程的个数为c r+u n个，法方程的个数为t个，通过解算法方程可以直接求得参数的平差值。 间接平差最大的优点是方程的列立规律性强，便于用计算机编程解算；另外精度评定非常便利；再者，所选参数往往就是平差后所需要的成果。如水准网中选待定点高程作参数，平面网中选待定点的坐标作参数。由于r+t n，说明条件平差与间接平差的法方程个数之和等于观测值个数，因此，当某一平差问题的r与t相差较大时，若r t,通常采用条件平差；若r t，则采用间接平差，这样就可保证法方程的阶数较少。 附有条件的间接平差与间接平差类似，不同的是所选参数的个数u t，但要求必须包含t个独立参数，不独立参数的个数为s u-t个，因此，模型建立时，除按间接平差法对每一个观测值列立一个方程外，还要列出参数之间所满足的s个限制条件方程，方程的总数为c r+u n+s个，法方程的个数为u+s个。 附有条件的条件平差是一种综合模型，类似于附有参数的条件平差，不同的是所选部分参数不独立，或参数满足事先给定的条件。模型建立时，除列立观测值之间或观测值与参数之间满足的条件方程外，还要列出参数之间的限制条件，方程总数为r+u c+s个。法方程的阶数为c+u+s个。 由此看来，各种平差方法各有特点，有些特点是其它方法难以代替的，没有哪一种方法比另一种方法更占绝对优势，因此，对于不同的平差问题，究竟采用哪一种模型，应具体问题具体分析。 不仅如此，各种模型之间还存在着内在的联系，特别是附有条件的条件平差的函数模型，则有着特殊的作用。例如： 当（5-1-11）、（5-1-12）式中系数阵 时，它就变成了条件平差的函数模型； 当（5-1-11）、（5-1-12）式中系数阵 时，它就变成了附有参数的条件平差的函数模型； 当（5-1-11）、（5-1-12）式中系数阵 和 时,它就变成了间接平差的函数模型； 当（5-1-11）、（5-1-12）式中系数阵 时，它就变成了附有条件的间接平差的函数模型。 可见其它平差方法的函数模型都可以说是附有条件的条件平差法函数模型的一个特例。或者说该模型概括了所有的模型，所以，该模型又称为 “概括平差函数模型”。本章的求平差值和精度的公式也可以称为是“通用公式”。特别地，条件平差函数模型是附有参数的条件平差的特例，附有参数的条件平差函数模型是条件平差函数模型的概括；间接平差也是附有条件的间接平差的一种特例，附有条件的间接平差模型也是间接平差函数模型的一种概括。 从统计学角度来看，观测就是抽样，抽样的结果称为子样，子样的任何一个函数都称为统计量。由观测而得到的观测值称为子样值，由子样值计算得到的估计量的值称为估计值。根据参数估计最优性质的判断标准知，评定一个统计量是否具有最优性质，就是要看该量是否具有无偏性、一致性和有效性。 观测向量L是随机向量，平差后求得的 等统计量也都是随机变量，本节就是要证明：按最小二乘准则求得的结果具有上述最优性质。鉴于其它平差函数模型都是概括平差模型的特殊情况，因此，本节只讨论这一普遍情况，当然它的结论也一定适合其它所有平差方法。 要证明 和 是无偏估计，就是要证明 和 （5-4-1） 因为 ，故要证明 ，也就是要证明： （5-4-2） 对（5-1-9）及（5-1-10）式取数学期望，并顾及 ， 为真值 与 之差， 取定后， 即为一定值。于是得： （5-4-3） （5-4-3） 对（5-2-7）式取期望，顾及 ，则有 （5-4-4） 再对（5-1-27）式取数学期望，得： （5-4-5） 所以有 这就证明了 和 是 和 的无偏估计量。 （5-4-6） 参数 的协方差阵可由下式求出： 中主对角线元素就是各 的方差，要证明参数估值的方差最小，根据矩阵迹的定义，也就是要证明 或 （5-4-