第三讲 圆、直圆的位置关系.docVIP

第三讲 圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、复习目标： 1．掌握圆的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程及参数的意义，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。 2．能根据所给条件，选取适当的方程的形式，运用待定系数法求出圆的方程，注意运用圆的几何性质优化解题过程。 3．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆的问题。 4．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。 二．基础知识： 1．圆的方程 (1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。 (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F0)，其中圆心为(-，-)，半径为 (3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之） （）参数式：，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心，θ（圆心角）为参数 （）半圆方程：等 （）圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2； （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程；当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。） 2．圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系：二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF0。 3．若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在 4．直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法： 代数法（判别式法） （2）几何法，圆心到直线的距离 一般宜用几何法。 5．弦长与切线方程，切线长的求法 （1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则 （2）改写圆方程写出圆的切线方程：(x0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以x0x, y0y,改写圆方程中的x2，y2,x,y 切线长 6设圆C1：(x?a)2+(y?b)2=r2和圆C2：(x?m)2+(y?n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有： (1)d=k+r 两圆外切； (2)d=k?r 两圆内切； (3)d＞k+r 两圆外离； (4)0d＜k-r 两圆内含； (5)k?r＜d＜k+r 两圆相交． ．题型归类 题型一：例1、根据下列条件，求圆的方程。 (1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。 解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) ∵⊙O与⊙Q相外切于P ∴O、P、Q共线，且λ== -= - 由定比分点公式求得a=-3，b=3 ∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16 (2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为： = 即x+y-1=0 解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5 ∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 (3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将P、Q点的坐标分别代入①，得： 4D-2E+F=-20 ② D-3E-F=10 ③ 令x=0，由①得y2+Ey+F=0 ④ 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根。 ∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤ ②、③、⑤组成的方程组，得 D=-2 D= -10 E=0 或 E= -8 F= -12 F=4 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0 思维点拔无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。 解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线