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第五章 电磁波的辐射 §5.1 电磁场的矢势和标势 1. 矢势和标势 （1）矢势 因为，故存在矢势，使得 （5.1.1） 矢势沿任一闭合环路的线积分等于通过以为边界的任意曲面的磁通量，即 5.1.2 2 标势 由麦克斯韦方程组的 和（5.1.1）式得 可见是无旋场，因此存在标势，使得 所以 （5.1.3） （3）用矢势和标势描述电磁场 在宏观领域里，通常用描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势和标势描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用和描述电磁场。 2. 规范变换 （1）规范变换 对于一个给定的电磁场，它的都是确定的，但它的和却并不是确定的，而是有一定程度的任意性。设为有连续二级偏微商的任意函数，则当 （5.1.4） （5.1.5） 时， 所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做规范变换。 （2）两种规范 为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择为某个值。这叫做选择规范。 库仑规范 （5.1.6） 洛伦兹规范 5.1.7 3. 势的微分方程 在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得 （5.1.8） （5.1.9） （1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为 （5.1.10） （5.1.11） 这时，标势与静电势相同，就是库仑势。 （2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为 （5.1.12） （5.1.13） 这时满足相同的方程——达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流的波源，电荷的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播。 §5.2 推迟势 设电荷和电流分布在体积内，它们在处产生的势为 （5.2.1） （5.2.2） 式中和分别表示 时刻的电荷密度和电流密度，参看图1-4-1。（5.2.1）和（5.2.2）两式表明，电荷和电流在距离为处产生势需要经过一段时间，所以叫做推迟势。 1. 振荡电流的推迟势和电磁场 （1）振荡电流的推迟势 若电流是频率为的振荡电流，即 （5.2.3） 则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为 （5.2.4） 式中。令，则 （5.2.5） （2）振荡电流外面的电磁场 在振荡电流区域外面，。这时，有了，就可求出磁场 （5.2.6） 再根据下式，便可求出电场 （5.2.7） 因此，这时只要知道矢势，便可求出电磁场来。 2. 远区推迟势的多极展开 设电流分布在区域内，的线度为。如图1-4-2，在内任取一点为坐标原点，这时，。通常（波长）的地方叫做中区，把的地方叫做远区。在中区和远区，（5.2.5）式可展开为 （5.2.8） 式中是方向上的单位矢量。 这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为 （5.2.9） 式中是系统的电偶极矩的振幅，即 （5.2.10） 第二项为 （5.2.11） 式中是系统的磁矩的振幅，是系统的电四极矩的振幅，它们分别为 （5.2.12） 和 （5.2.13） §5.3 电偶极辐射 1. 中远区的电偶极场 由（5.2.9）式可求出振荡电偶极矩产生的电磁场为 5.3.1 5.3.2 式中，如图1-4-3所示。 图1-4-3 若以为极轴，取球极坐标系，则由上面两式得 （5.3.3） （5.3.4） 2. 电偶极辐射场 对于远区的辐射场，可略去项。这时，以方向为极轴取球极坐标，电偶极辐射场便为 （5.3.5） （5.3.6） 平均辐射能流密度为 （5.3.7） 平均辐射功率为 （5.3.8） §5.4 磁偶极辐射和电四极辐射 1．磁偶极辐射 （5.2.11）式中的磁偶极辐射项为 （5.4.1） 由此得磁偶极辐射场为 （5.4.2） （5.4.3） 磁偶极辐射的平均能流密度为 （5.4.4） 辐射功率为 （5.4.5） 2. 电四极辐射 5.2.11 式中的电四极辐射项为 5.4.6 定义矢量为 5.4.7 则得电四极辐射场为 5.4.8 5.4.9 平均流密度为 5.4.10 §5.5 天线辐射 1. 半波天线 长度为的天线叫做半波天线.以半波天线的中点为原点，天线为极轴,取球坐标系。设天线上载有振荡电流 （5.5.1） 则拥有振荡电流产生矢势的规律可以求出，在的处，时刻，天线上的电流所产生的矢势为 （5.5.2） 由这个矢势求得半波天线的远场为 5.5.3 5.5.4 半波天线的平均辐射能流密度为 5.5.5 平均辐射功率为 5.5.6 半波天线的辐射电阻为 5.5.7 2. 整数倍半波天线 设天线长度为半波长的整数倍，即 5.5.8 以天线中点为原点，天线为极轴，取球坐标系。则当天线上载有振幅为的振荡电流时，它的远场和平均辐射能流密度如下： （1）为奇数 （5.5.9） 5.5.10 5.5.11 2