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《数学模型》作业解答 第七章（2009年5月12日） 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较. （2）若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽. 解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： 在点附近用直线来近似曲线，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 对应齐次方程的特征方程为 特征根为 当时，则有特征根在单位圆外，设，则 即平衡稳定的条件为与的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在处附近的直线近似表达式分别为： 由（5）得， 将（4）代入（6），得 对应齐次方程的特征方程为 代数方程（7）无正实根，且不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为，则 对（7）作变换： 则 其中 用卡丹公式： 其中 求出，从而得到，于是得到所有特征根的条件. 2．已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和. 设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： ----------------------（1） --------------------（2） 从上述两式中消去可得 ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 ---------------（4） 当8时，显然有 -----------（5） 从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ． 故点稳定平衡条件为 ． 3． 已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和. 设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： --------------------（1） --- ----------------（2） 由（2）得 --------------------（3） （1）代入（3），可得 ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 ---------------（4） 当8时，显然有 -----------（5） 从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ． 故点稳定平衡条件为 ． singing songs progress, and breaks down barriers to air, widely welcomed by the Japanese youth. Soon, the political team was held in town 25 rent forum to promote rent, attended by KMT County Government, county offices, Yan Tomb District Government and representatives from all walks of the local youth. The meeting, the objections raised by the representatives of the County Committee, the two sides hotly debated. The local gentry and County Committee of the Kuomintang have atta