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工程数学教研室 教学大纲 2006.5 目 录 《线性代数》教学大纲…………………………2 《概率论和数理统计》教学大纲………………5 《复变函数与积分变换》教学大纲……………10 《数学物理方程与特殊函数》数学大纲………15 《线性代数》教学大纲 学时：40 学分：2.5 教学大纲说明 课程教学目的和任务 《线性代数》是工科院校学生的一门必修基础课，是学习自然科学、工程技术和企业管理所必备的基础知识和重要工具。其任务是使学生获得行列式、矩阵代数、线性方程组、线性变换及二次型等基本知识，掌握基本运算，培养逻辑思维、逻辑推理和运用矩阵代数解决某些实际问题的能力，为学习后继课程和工作打下必要的基础。 课程的基本要求 1、理解下列基本概念 n阶行列式 m×n矩阵 矩阵的秩及初等变换 初等矩阵 n维向量组的线性相关及线性无关 向量的线性组合 向量组的极大无关组与秩 n维向量空间齐次线性方程组的基础解系 齐次与非齐次线性方程组的通解 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵与相似变换 正交矩阵与正交变换 二次型及标准形 合同变换与合同矩阵 二次型和对应矩阵的正定性 2、掌握下列基本运算 行列式的计算 矩阵的计算 逆矩阵的求法 线性方程组的解法 矩阵的特征值和特征向量的求法 用正交变换化二次型为标准形 与其它课程的联系和分工 《线性代数》是高等学校理工科和经济管理学科有关专业的一门重要基础课，它不仅是其它数学课程的基础，也是物理、力学、电路、运筹等课程的基础。另外，由于计算机的飞速发展和广泛应用，使许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量解决，这样，作为处理离散问题的线性代数成为大学生今后从事科学研究和工程设计必备的数学基础。 教学形式和学时分配 章次 内容 课堂讲授学时数 一 行列式 6 二 矩阵及运算 6 三 矩阵的初等变换与线性方程组 8 四 向量组的线性相关性 10 五 相似矩阵及二次型 10 总学时数 40 本课程的性质及适用对象 工科类各专业必修教学大纲内容 教学大纲内容 行列式 二阶与三阶行列式 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则 教学提示：行列式是一种常用的数学工具，在数学及其它学科中有着广泛的应用。本章重点在于让学生了解行列式的性质及解线性方程组的克莱姆法则，掌握行列式的常用计算方法。 矩阵及运算 矩阵的概念 单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵以及它们的性质 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念与性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随阵 分块矩阵及其运算 教学提示：矩阵是线性代数的主要研究对象。它在线性代数与数学的许多分支中都有重要应用，许多实际问题可用矩阵表示并用有关理论得到解决。本章重点在于让学生掌握矩阵的运算规律及求逆矩阵的方法，要让学生了解矩阵常用的分块方法。 矩阵的初等变换与线性方程组 矩阵的初等变换 矩阵等价 矩阵的秩 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 用初等变换解线性方程组 初等矩阵 教学提示：矩阵的初等变换是矩阵的一种重要运算。本章重点让学生掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、求逆矩阵、解线性方程组的方法，要让学生了解初等矩阵的作用。 向量组的线性相关性 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组与向量组的秩 等价向量组 向量组的秩 与矩阵的秩之间的关系 向量空间简介 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解 用初等行变换求解线性方程组 教学提示：向量组的线性相关与线性无关是线性代数的重要内容，在此基础上可讨论线性方程组的通解问题。本章重点让学生掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及有关的性质，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 相似矩阵及二次型 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 正交变换 方阵的特征值和特征向量的概念、性质和求法 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 二次型及矩阵表示 二次型的秩 合同变换与合同矩阵 二次型的标准形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 惯性定理 二次型和对应矩阵的正定性及判别方法 教学提示：方阵的特征