【创新设计】215年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式.docVIP

第1讲　不等式、含有绝对值的不等式 [必威体育精装版考纲] 1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法. 知 识 梳 理 1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； (2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|； (3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解法 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a {x|－axa} ? |x|a {x|xa，或x－a} {x|xR，且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法 |ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥cax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 诊 断 自 测 1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________． 解析　数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集． 答案　(－4，－2)(0,2) 2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________． |a＋b|＞|a|；|a＋b|＜|b|；|a＋b|＜|a－b|；|a＋b|＞|a|－|b|. 解析　ab＞0，a，b同号，|a＋b|＝|a|＋|b|，和正确． 答案　 3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________． 解析　令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝ 当x≤4时，f(x)＝4＞2； 当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5， 4＜x＜5； 当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x|x＜5}． 答案　{x|x＜5} 4．(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析　|kx－2|≤2，－2≤kx－4≤2，2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，k＝2. 答案　2 5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________． 解析　|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1. 答案　(－∞，1) 考点一　含绝对值不等式的解法【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5. 解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3][2，＋∞)． 法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 或 或解得x≥2或x≤－3， 原不等式的解集为(－∞，－3][2，＋∞)． 法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0. 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝作出函数的图象，如图所示． 由图象可知，当x(－∞，－3][2，＋∞)时，y≥0， 原不等式的解集为(－∞，－3][2，＋∞)． 规律方法 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 【训练1】 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1. 解　当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜10，x＜－3. 当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，－3≤x＜－. 当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得x＞2，x＞2. 综上可知，原不等式的解集为.