山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练平面向量应用(含)案例.doc

平面向量应用 1、(1)(2013·新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________. (2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________． 解析　(1)以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)． ＝(1,2)，＝(－2,2)． 从而·＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2. (2)由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1， 即2＋·－2＝1. 因为||＝1，BAD＝60°，所以·＝||， 因此式可化为1＋||－||2＝1，解得||＝0(舍去)或，所以AB的长为. 答案　(1)2　(2) 在边长为1的菱形ABCD中，BAD＝60°，E是BC的中点，则·＝(　　)．A. B. C. D. (2)在ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则PAB与ABC的面积之比值是(　　)． A. B. C. D. 解析　(1)建立如图平面直角坐标系，则A，C， B. E点坐标为， ＝(，0)，＝， ·＝×＝. (2)由已知可得＝2， P是线段AC的三等分点(靠近点A)， 易知SPAB＝SABC，即SPAB∶S△ABC＝13. 答案　(1)D　(2)A (2013·湖南卷)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且·＝0. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值． 解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)． 由(＋)·(－)＝0， 得||2－||2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0， 化简得＋＝1. 所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1. (2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1， P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)， 则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)， 所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17 ＝－(y0＋3)2＋20. 因y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19； 当y0＝2时，2取得最小值为13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4. 已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程． 解　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0. 由＝－，得 (x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴ 把a＝－代入， 得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)． 所以动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________． 解析　建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量， 可设＝a＝(1,0)，＝b＝(0,1)，＝c＝(x，y)． c－a－b＝(x－1，y－1)， |c－a－b|＝1， (x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c|＝， |c|的最大值为|OM|＋1， 即|c|max＝＋1. 答案　＋1 ．ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2 ＋＋＝0，||＝||，则·＝(　　)．A. B. C．3 D．2 解析　由2 ＋＋＝0，得2 ＋－＋－＝0，即＝－，即O，B，C三点共线，BC为ABC外接圆的直径，故BAC＝90°.又||＝||，得B＝60°，所以C＝30°，且||＝(如图所示)． 所以·＝||||cos 30°＝×2×＝3. 答案　C ．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x ＋y ，其中x，yR，则x＋y的最大值是________． 解析　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)， B， 设AOC＝α， 则C(cos α，sin α)， 由＝x ＋y ， 得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin， 又α，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. ．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于(　　)．A．1 B．－1 C. D. 解析　由|a·