平形四边形周长和面积.docVIP

平行四边形（2） 平行四边形中有关周长和面积的问题 四边形是日常生活中应用较广的一种几何基本图形，平行四边形等特殊四边形的用处更多，平行四边形中有关周长和面积的计算问题是一类常见问题，它主要用到平行四边形“对边相等” 、“对角线互相平分”及“等底等高的平行四边形面积相等”等知识。 平行四边形中有关周长的计算方法 1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝CD，CB＝AD 所以，平行四边形ABCD的周长 2两邻边之和 2、如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， OA＝OC，OB＝OD 所以，△AOB（或△COD或△BOC或△AOD）的周长 都等于两条对角线和的一半与一条边长之和 如，△AOB的周长 OA+ OB+AB 即，△AOB的周长 （AC+BD）+AB 平行四边形中有关面积的计算方法 1、在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离 或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离 ，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．平行四边形的面积等于它的底和高的积，即＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图（1）．要避免发生如图（2）的错误． 2、如图（1），a∥b ，若AB∥CD，四边形ABC是平行四边形，则AB CD， 所以有结论“夹在两条平行线间的平行线段相等”； 图（2）是其特殊情况GH EF． （1） （2） （3）（注意：必须是“平行线”间的“平行”线段才相等，不能在图（3）中出现写成AB EF的情况）． 如图（4），根据“夹在两条平行线间的平行线段相等”， 在直线a上任取一点P，△PBC的面积都与△ABC的面积相等． （4） 3、在平行四边形中，一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形； 两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形． 三、例题讲解 例1 平行四边形ABCD的周长等于48，已知AB 2BC，求各边的长． 解：由平行四边形对边相等， 得 AB+BC 24， 已知AB 2BC， 所以3 BC 24， BC 8， AB 16． 例2 平行四边形ABCD中，周长等于34，对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长． 解：平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD △AOD与△AOB的周长的差是10，即 AD－AB 10① 由平行四边形对边相等， 得AD+AB 34② 解由①、②组成的二元一次方程组，得AD 22，AB 12． 例3 平行四边形一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，求平行四边形的周长． 分析：题目中没有给出图形，所以有图（1）和图（2）两种情况，解答本题时首先要根据题意画出图形，并结合图形写出条件和结论，再解答。 解：在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，将AD分成，的两条线段，求ABCD的周长． 如图（1），当AE ，ED 时， AD AE+ED 12cm． 在ABCD中，AE∥BC， ∴∠2 ∠3． （1） ∵BE平分∠ABC ， ∴∠1 ∠2 ． ∴ ∠1 ∠3 ． ∴ AB AE ． ∴ABCD的周长 2（AD+ AB） 38cm．如图（2），当AE ，ED 时， 同理可求得AB AE ， ABCD的周长 2（AD+ AB） 34cm．例4 如图，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，∠EAD 60°，AE 2cm，AC+BD 14cm，求△OBC的周长． 提示：在Rt△ADE中，根据“30°角所对直角边等于斜边一般”得AD＝BC 4 cm △OBC的周长 BC+BO+OC BC+（AC+BD） 11 cm 例5 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图， AB＝15，AD＝12，AC⊥BC，求小路BC、CD、OC的长，并算出绿地的面积． 提示：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式（注意：平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．） AC 5，平行四边形ABCD面积 60． 例5变式练习 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，AC⊥BC，BC 4，且四边形ABCD的面积为12，求BD的长． 分析：BC 4，且四边形ABCD的面积为12，所以 AC 3，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB 5． 过点D作DE∥BC交BC 延长线于点E，易证四边形ABED是平行四边形， 有AD BC 4，DE AC 3，所以BE 8． 在Rt△BDE中，BD ． 说明：平行四边形周长或面积的题目，会遇到需要应用勾