计算机数学基础--方程求根(02-13).doc

《计算机数学基础 2 》辅导 ---- 方程求根 2002级用 秋季 中央电大 冯 泰 第13章 方程求根 一、重点内容 二分法 设方程f x 0在区间[a,b]内有根．用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：[a，b] [a1，b1] [a2，b2] … [an，bn] … x* xn a0 a,b0 b ,n 0,1,2,… 有误差估计式： x*－xn ，n 0,1,2,… 二分有根区间次数公式： 迭代法 1 简单迭代法 若方程f x 0表成x x ，于是有迭代格式： xn xn－1 n 1,2,…） x* xn 若存在0 1, x ,在有根区间[a,b]内任取一点作为初始值x0进行迭代，迭代数列 xn 都收敛到f x 0的根. 2 快速迭代法 若方程f x 0在区间[a,b]有根，且可以表成x x ，有迭代公式： 牛顿法 若f x 0在区间[a,b]内有根．用f x 的切线与x轴的交点，逼近曲线f x 与x轴的交点．有迭代公式： （n 1，2，…） 选初始值x0满足f x0 f x0 0，迭代解数列 xn 一定收敛． 弦截法: 若f x 0在区间[a,b]内有根．用两点连线与x轴交点逼近曲线f x 与x轴的交点．有迭代公式： n 1,2,… 通常取将a，b取为两个初始值． 二、实例 *例1 用二分法求方程f x 0在区间[1.5，2]内的实根的近似值，使误差不超过0.01. 计算过程保留5位小数.． 解 ＝0.01，a 1.5，b 2．由二分次数公式 取n 5，即二分有根区间5次．，f 1.5 0.43 0，f 2 －0.09 a0 1.5 b0 2 x0 1.75 f x0 0 a1 1.75 b1 2 x1 1.875 f x1 0 a2 1.875 b0 2 x2 1.9375 f x2 0 a3 1.875 b3 1.9375 x3 1.902 65 f x3 0 a4 1.902 65 b4 1.937 5 x4 1.921 88 f x4 0 a5 1.921 88 b5 1.937 5 x5 1.929 69 取x* 1.92969． 例2 用简单迭代法求方程 x2－2x－3＝0的近似根，取x0 4，要求近似根满足，计算过程中保留四位有效数字. [分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式 ，当在x 4附近时迭代发散． 建立迭代格式，此时迭代收敛． 解建立迭代格式： 因为 k 0, x0 4 k 1, x 3.317 k 2, , 0.069 k 3, k 4 于是取 x* x5 3.004 例3 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过10－5． [分析]首先建立迭代格式.确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过10－5． 解 令，求x的值.牛顿迭代格式为 迭代误差不超过10－5，计算结果应保留小数点后6位． 当x 7或8时，x3 343或512，,取x0 8,有 7.478 078 7.439 956 7.439760 7.439760 于是，取7.439760． 例4 用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x 1.5附近的根.计算中保留5位小数点.． [分析] 先确定有根区间.再代公式． 解 f x x3－x2－1，f 1 －1，f 2 3，有根区间取[1,2] 取x0 2, x1 1, 迭代公式为 n 1,2,… 1.37662 1.48881 1.46348 1.46553 取1.46553，f 1.46553 －0.000145 例4 选择填空题 2. 用简单迭代法求方程f x 0的实根，把方程f x 0表成x x ,则f x 0的根是 . A y x与y x 的交点 B y x与y x 交点的横坐标 C y x与x轴的交点的横坐标 D y x 与x轴交点的横坐标 答案： B 解答：把f x 0表成x x , 满足x x 的x是方程的解，它正是y x与y x 的交点的横坐标． 3.为求方程x3―x2―1 0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不一定收敛的是 . A B C D 答案：. A 解答： 在. A 中 故迭代不一定收敛． 在 B 中，故迭代收敛． 在 C 中，，故迭代收敛． 在 D 中，类似证明，迭代收敛． 三、练习题 1. 求方程f x 0在[0,1]内的近似根，用二分法计算到x10 0.445达到精度要