导数与函数的单调性极值最值.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 PAGE §3.2　导数与函数的单调性、极值、最值 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.(　×　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　×　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　) (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．(　√　) 1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) 答案　A 解析　∵f′(x)＝2x－eq \f(2,x)＝eq \f(2?x＋1??x－1?,x)(x0)． ∴当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数． 2．(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 答案　C 解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0， ∴x＝1不是f(x)的极值点． 当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)， 显然f′(1)＝0，且x在1附近的左边f′(x)0， x在1附近的右边f′(x)0， ∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C. 3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)， ∵m′(x)＝f′(x)－20， ∴m(x)在R上是增函数． ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)0的解集为{x|x－1}， 即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)． 4．设1x2，则eq \f(ln x,x)，(eq \f(ln x,x))2，eq \f(ln x2,x2)的大小关系是__________________．(用“”连接) 答案　(eq \f(ln x,x))2eq \f(ln x,x)eq \f(ln x2,x2) 解析　令f(x)＝x－ln x(1x2)， 则f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)0， ∴函数y＝f(x)(1x2)为增函数， ∴f(x)f(1)＝10，∴xln x0?0eq \f(ln x,x)1， ∴(eq \f(ln x,x))2eq \f(ln x,x). 又eq \f(ln x2,x2)－eq \f(ln x,x)＝eq \f(2ln x－xln x,x2)＝eq \f(?2－x?ln x,x2)0， ∴(eq \f(ln x,x))2eq \f(ln x