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2012-4-1学习辅导（一） 第一章 集合 一、学习内容 1. 集合的概念，集合的表示方法、集合的运算（并、交、差、补）以及集合列的上极限与下极限和极限的运算。 2．集合对等的概念与伯恩斯坦定理。 3. 集合基数的概念，并理解可数基数和连续基数。 二、学习要求 1.必须准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上有许多类似的公式，但也有许多本质不同的公式。学习时千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。 2.可数集是所有无限集中基数最小的无限集，这一点很关键。所以从一无限集中去掉一个可数子集后，若剩下的仍为无限集，则剩下的无限集的基数与原无限集的基数相等。类似的，无限集并上一个可数集后，其基数也不变。 3.学习本书中的概念既要从肯定方面又要从否定方面加以考虑，并能在此基础上总结出论证某些问题的基本思路与方法。 4.一列集合的上极限、下极限及极限是用集合运算来解决分析中许多问题的基础，应该很好的掌握。 5.证明集合A与B对等的基本方法有三种：（1）根据对等的定义，直接构造两集间的1-1对应；（2）利用对等的传递性，及欲证A~C，此时已知A~B，于是只需证明B~C即可；（3）利用伯恩斯坦定理，即欲证A~B，只要证A与B各与对方一子集对等即可。 6.证明一集合A的基数为c时常常用到区间、、的基数为c，也常常设法把A与p进位无穷小对等。 三、例题解析 例1 证明 证法一 先证明左式右式，设,则或， 若，则对一切，有，所以; 若，则由，可得对任何，有,所以。 因此，因而左式右式。 再证右式左式，设，则对任何，都有， 因此或。若，则；若，则对任何 成立，所以，即右式左式。 综上得结论成立。 证法二 由德摩根公式得 所以 设有集合A,B和C，试证明： 若（A\B）~（B\A），则A~B； 若AB且A~ A ，则B~ B 证明 （1）因,，，所以 （2）因，所以，另一方面，，并且，， 再由 及条件，有，又因,所以B~ B 证毕。 作出实数全体与无理数全体间的1—1映射。 解：在R中取出可数子集，则也是可数集，其中表示有理数全体，所以，因而存在到上的1—1映射，例如，设，则可取 ，， 则是到上的1—1映射，令 则是到上的1—1映射。 四、练习题 1．证明： 2．证明： 3．证明： 4. 设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集。 1