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万有引力定律习题归类 一、求天体的质量(或密度) 1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量 由mg=G 得 .（式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．） [例1]宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度ρ. [解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度． 根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt．有 当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x= 2vt．所以有 ② 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G ③ 联立以上三个方程解得 而天体的体积为，由密度公式得天体的密度为。 2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量 卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得 若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度或线速度v，可求得中心天体的质量为 [例2]下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r [解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由可以求出中心天体地球的质量，所以C项正确．由求得地球质量为，所以D项正确． 三、地球同步卫星问题 [例4]关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（ ） A.已知它的质量是1.24 t，若将它的质量增为2.84 t，其同步轨道半径变为原来的2倍 B.它的运行速度为7.9 km/s C.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播 D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的 [解析]同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量的大小无关．所以A项错误．因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于7.9 km/ s，而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，所以同步卫星的线速度一定小于7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有3.07 km/s。所以B项错误．因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步轨道不可能过北京的正上方．所以C项错误．同步卫星的向心加速度，物体在地面上的重力加速度，依题意，所以。D选项正确。 四、求天体的第一宇宙速度问题 突破训练5　宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设在月球表面处的重力加速度为g 则h＝gt2，所以g＝ 飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有 mg＝m 所以v＝＝ ＝，选项B正确.