第十一章 二次函数的图形与性质.docVIP

第十一章 二次函数的图象与性质 一、知识要点概述 1二次函数的定义：如果，那么叫的二次函数． 2二次函数的图象：二次函数的图象是一条抛物线． 3二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：，B，C时的求解，此时可设函数解析式为，，将A，B，C三点的坐标代入函数解析式，得有关于的三元一次方程组，解三元一次方程组得的值。） (2)顶点式：。（适用于已知顶点坐标A，且图象过点B时的求解，此时设二次函数的解析式为，根据已知有，，接着将B代入顶点式解析式得的值。） (3)零点式：是图象与两交点的横坐标。（适用于已知函数与轴两交点坐标为A、B，且图象过C时的求解，此时可设函数解析式为，将交点A、B代入解析式，接着将C代入解析式得出的值。） 确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键． 4的图象 （1），开口向上，对称轴方程为，顶点为；时函数为减函数，时函数为增函数；当时，函数有最小值。 （2），开口向下，对称轴方程为，顶点为；时函数为增函数，时函数为减函数；当时，函数有最小值。 5．对称轴方程的几何意义及其解题 设A，B，到对称轴的距离相等，即=，此时对称轴横坐标是A、B两点横坐标的中点，有，则有；反之该命题也成立，即=。 6．最值（最值可分两类情况，分别为和时函数的最值，下面分类别进行讲解） （1）当时，二次函数的最值就是顶点的纵坐标。时，函数有最小值；时，函数有最大值。 （2）当时，需要将时的函数值和时的函数值分别求出，若对称轴方程，还需求出顶点纵坐标，再比较、、的大小，最大的为最大值，最小的为最小值；若对称轴方程，则只需比较、的大小。 7．图象平移 函数图象平移遵循左加右减、上加下减的原则。左右对横坐标而言，即横坐标向左平移个单位，则变为；向右平移个单位，则变为。上下对纵坐标而言，即纵坐标向上平移个单位，则变为；纵坐标向下平移个单位，则变为。 注意：二次函数图象的平移，一定是将一般式化为顶点式，对顶点式中的进行左加右减的变化。 8．抛物线与轴的两个交点为A、B，且方程的两根为，则有、B．的符号看图象开口，若图象开口向上，则，若图象开口向下，则；的符号由对称轴方程位于轴方向决定，若位于轴正半轴，则，若位于轴负半轴，则；的符号由图象与轴交点决定，若与轴交于正半轴，则，若与轴交于负半轴，则。 10．二次函数中的（） 若二次函数图象与轴有两个交点，则；若二次函数图象与轴有一个交点，则；若二次函数图象与轴没有交点，则； 11．二次函数与二次方程、二次不等式的关系 由可知，若，则二次函数变为二次方程；若或，则二次函数变为二次不等式，利用图象求解。 二、例题讲解 例1已知二次函数的图象如图所示． 下列结论：；；；． 其中正确结论的个数是（） A．B．3C．2D．1 例2二次函数的图象如图所示．那么化简的结果是____________． 例3已知抛物线与轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点． (1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）； (2)若AB的长为，求抛物线的解析式． 例4果抛物线与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是，OB的长是．(1)求的取值范围；(2)若，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．例5某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式． 例6函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）． (1)请判断实数的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当AMC的面积为ABC面积的倍时，求的值． 例7下列条件，求抛物线的解析式． (1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）； (2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）； (3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，6）． ，求其对称轴方程、顶点、单调区间和最值并画出图象。 例9 如果二次函数对任意实数都有，则的大小关系为 。 例10 是二次函数，图象开口向上，且，比较的大小关系。 例11 已知二次函数求 （1）二次函数的最值； （2）当时，求二次函数的最值。 例12、已知二次函数在区间上有最小值3，求的值。 例13 已知二次函数的图象由的图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位而得到，则该二次函数的解析式是 。 例14 将二次函数的图象向左平移3个单位， 再向上平移5个单位可得，则该二次函数的解析式是 。 三、练习 1．（）处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后