2012高考数学总复习练习第五单元第八节正余弦定理的应用举例.docVIP

第五单元 第八节 一、选择题 1. 如图，为了测量障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据．为了简便，测量时应当用数据 A．α，a，b 　　B．α，β，γ C．a，b，γ 　　D．a，b，β 【解析】　测得a，b，γ后，由余弦定理即可计算A、B间的距离． 【答案】　C 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为 A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【解析】　由仰角和俯角的定义知，α与β的余角为夹在两水平线之间的内错角关系，故α＝90°－β. 【答案】　C 3．已知两灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的 A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 【解析】　如图，由题意知ACB＝80°，AC＝BC，CAB＝ABC＝50°.MB∥CN，MBC＝NCB＝60°，MBA＝MBC－ABC＝10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向上． 【答案】　B 4． 精选考题·池州模拟 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 A．5海里 B．5 海里 C．10海里 D．10 海里 【解析】　 如图所示，依题意有BAC＝60°，BAD＝75°，所以CAD＝CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在RtABC中，得AB＝5，所以这艘船的速度是＝10 海里/小时 ． 【答案】　C 5. 如图所示，B、C、D在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D、C两地测得A的仰角分别为30°、45°，则点A距地面的距离等于 A．10 m B．5 m C．5 －1 m D．5 ＋1 m 【解析】　设点A距地面的距离等于x，则BC＝x，AC＝x，在ADC中，由正弦定理得＝，解得x＝5 ＋1 ． 【答案】　D 6. 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 A．a km B.a km C.a km D．2a km 【解析】　易知ACB＝120°，在ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，AB＝a. 【答案】　B 7．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 A. 海里/小时 B．34 海里/小时 C. 海里/小时 D．34 海里/小时 【解析】　如图所示，在PMN中，＝， MN＝＝34，v＝＝ 海里/小时 ． 【答案】　A 二、填空题 8．在ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则A＝________. 【解析】　由正弦定理＝，sinA＝. BC＝2＜AC＝，A为锐角，A＝45°. 【答案】　45° 9．在ABC中，BC＝1，B＝，当ABC的面积等于时，tanC＝________. 【解析】　SABC＝acsinB＝，c＝4， b2＝a2＋c2－2accosB＝13， cosC＝＝－，sinC＝， tanC＝－＝－2. 【答案】　－2 10． 精选考题·舟山调研 甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取________方向才能追上乙船． 【解析】　 如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°.由正弦定理知＝，＝，sin∠CAB＝，CAB＝30°，故甲船应取北偏东30°方向． 【答案】　北偏东30° 三、解答题 11．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离． 【解析】　在ACD中，DAC＝30°，ADC＝60°－DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1. 又因为BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 在ABC中，＝， 即AB＝＝， 因此，BD＝ km ． 故B，D的距离为 km. 12. 精选考题·陕西高考 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5 3＋ 海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号