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多重积分 一 二重积分 1 物理背景：密度函数为，占据平面区域D的平面薄片的质量； 几何背景：以曲面为顶，D为底的曲顶柱体的体积。 2 性质：（1）不等式性；（2）积分中值定理；（3）对称性；（4）轮换对称性。 3 直角坐标系下求解二重积分 （1）与围成 （4）与围成 （2）与围成 （5）与围成 （3）与围成 （6）与围成 （7），及围成 （9） （8），及围成 （10） （11），及围成 （12），及围成 （13），及围成 （14），及围成 X型区域：边界曲线用做自变量来描述，用垂直于轴的直线穿越D； Y型区域：边界曲线用做自变量来描述，用垂直于轴的直线穿越D。 4 交换积分次序 （1）由积分上下限确定边界曲线，画出D； （2）换个形式描述D，写出新的二次积分。 5 极坐标系下求解二重积分 （1） （2） （3） （4） （5） 6 应用 （1）空间立体的体积（与三重积分的几何背景相同）； ：，： 确定与的交线，在xoy 面的投影围成D （2）空间曲面的面积（与第一类曲面积分的几何背景相同）； 的方程 的面积 （3）平面薄片的质心； 平面薄片占据平面区域D，密度函数为 ， （4）平面薄片关于坐标轴的转动惯量。 ， 二 三重积分 1 物理背景: 密度函数为，占据空间区域的空间立体的质量； 2 性质：（1）对称性；（2）轮换对称性。 3 直角坐标系下求解三重积分 1 投影法 ：，： 确定与的交线，在xoy 面的投影围成D（即在xoy 面的投影区域为D） : 在D内任取一点,过此点作直线L垂直于xoy平面,看L穿越的情况 2 截面法 : 规则区域，如圆，椭圆 的面积 4 柱面坐标下求解三重积分 （1） D 为圆域或与圆域有关 （2）边界曲面用柱面坐标表示 （3） 在D内任取一点,过此点作直线L垂直于xoy平面,看L穿越的情况 5 球面坐标下求解三重积分 （1） 为球体或与球体有关 （2）边界曲面用球面坐标表示 （3） 以原点O 为起点作射线L，看L穿越的情况 选择适当的坐标描述下列： 由与三个坐标面围成； 与围成 与围成 与围成 与围成 与围成 围成 与围成 围成 通常涉及到的空间曲面有：平面；旋转抛物面，椭圆抛物面；球面，椭球面；锥面；柱面等。 6 几何应用： 的体积 物理应用：（1）空间立体的质心；（2）空间立体对坐标轴的转动惯量 （3）空间立体对质点的引力。