三角形“垂心”定理的7种证法.docVIP

三角形“垂心”定理的7种证法 李小飞 摘要：用赛瓦定理、作辅助线、三角形外接圆、向量法证明三角形垂心定理，形成典型的一题多解，到达异曲同工之妙，体现数学的内在联系。 关键词:三角形、垂心、垂线、圆、向量 目录： 三角形“垂心”定理的证法 1.1定理---------------------------------------------------------2 1.2预备定理---------------------------------------------------2 1.3定理的证法------------------------------------------------2 1.3.1证法1-----------------------------------------------------2 1.3.2证法2-----------------------------------------------------2 1.3.3证法3-----------------------------------------------------3 1.3.4证法4-----------------------------------------------------3 1.3.5证法5-----------------------------------------------------4 1.3.6证法6-----------------------------------------------------4 1.3.7证法7-----------------------------------------------------5 引注和参考资料-----------------------------------------------------------5 三角形“垂心”定理的证法 1.1定理： 三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心（该定理俗称三角形“垂心”定理）. 已知，如图（1）中,AD,BE,CF 分别是边BC,CA,AB上的高. 求证: AD,BE,CF相交于一点 1.2预备定理: 1.塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是三边BC、CA、AB上的点,若 ,则AD,BE,CF交于一点. 2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做三角形的外心. 3. 三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三角形的内心. 1.3定理的证法 1.3.1证法1 如图（1），由已知可得，∽∽ ，∽三式相乘得：由塞瓦定理可得AD，BE，CF相交于一点. 1.3.2证法2 如图（2）分别过A、B、C做它们所在高的垂线，使之相交成. 则 同理， 可见，CF为边的中垂线。同理可得，BE为边的中垂线，AD为边的中垂线.为三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD、BE、CF相交于一点. 1.3.3证法3 如图（3）连结DE，EF，FD， 则A、B、D、E四点共圆， 在和中， 易知， 又A、F、D、C四点共圆，，.可见，AD平分.同理可得，BE平分，CF平分.在中， 由“内心”定理可得，AD，BE，CF相交于一点. 1.3.4证法4 如图（4）设AB边上的高CF与BC边上的高AD相交于H，连结BH并延长交AC于E. 连结DF，因A、F、D、C四点共圆， 又B、D、H、F四点共圆， ， 在 和中中， 可知， ， BE为边AC上的高. 由此可见，高AD、BE、CF 相交于一点. 1.3.5证法5 如图（5）设边BC，AC上的高AD，BE相交于H. 连结DE，作于F。 连结CH， 则A、B、D、E四点共圆， 又与互余，与互余. 又C、E、H、D四点共圆， ，。又， ， C、H、F三点共线。 即AB边上的高CF经过H点。因而三条高AD、BE、CF相交于一点. 1.3.6证法6 如图（6）设BC边上的高AD与AB边上的高CF相交于H，连结BH并延长交AC于E.建立如图所示的直角坐标系，并设A、B、C三点的坐标分别为： A（0，a），B（b,0），