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第五章 第六章 定积分及其应用——习题课 主要内容 例题 * 1/20 一、主要内容 1、定积分的定义 2、定积分的存在性 （1）充分条件 —— 连续或分段连续； （2）必要条件 —— 有界。 2/20 3、定积分的几何意义 ——面积或有向面积。 4、定积分的性质 线性、 关于积分区间的可加性、 单调性、 估值不等式、 中值定理。 5、定积分与不定积分的联系 （1）变上限积分的导数公式； （2）牛-莱公式——微积分基本公式。 保号性、 3/20 7、定积分的计算 ——化为不定积分的计算。 （1）线性； 恒等变形； 换元； 分部积分； 一些特殊类型函数的积分。 （2）与不定积分法的差别——积分限的确定。 （3）定积分与被积函数在有限个点处的定义无关； 与积分变量记号的选择无关。 （4）利用对称性、周期性及几何意义。 6、变限积分的求导方法 4/20 8、广义积分的定义 ——积分限的极限。 （1）注意（-?，+? ）上的积分、以内点为瑕点的积分与其主值的区别。 （2）注意区分常义积分与瑕积分。 9、广义积分的计算 ——求常义积分+求极限。 注意： 常义积分、无穷限的积分、瑕积分在换元法之 下可以相互转换。 5/20 10、元素法 ——将量表示为定积分的简便方法。 基本思想： （1）分割 11、几何量、物理量的定积分计算公式： 曲边梯形的面积、曲边扇形的面积； 光滑平面曲线段的弧长； （2）积分（求和，求积） —— 以直代曲、以静代动、以不变代变。 —— 要求具有可加性。 已知垂直于某直线的各截口面积时立体的体积、旋转体的体积； 变力作功、 水压力、 引力。 —— 掌握计算式建立的思想。 6/20 例1 解 二、典型例题 7/20 例2 解一 8/20 解二 9/20 解三 10/20 解四 11/20 例3 解 12/20 *例4 解 13/20 例5 解 14/20 * * * * *