98799§21一维定态(讲稿).docVIP

一维定态问题 § 2.1 一维定态的一般性质 § 2.2 方势阱 无限深方势阱 有限深对称方势阱 § 2.3 一维散射问题 § 2.4 ( 势 一、( 势阱中的束缚态 二、( 势垒的穿透（自学） § 2.5 一维谐振子 本征方程 级数解法 本征值和本征波函数 第二章作业 教材P80 ~ 82：3、4、5、6、12 粒子在一维势中运动，不含时薛定格方程为 一般分为两类问题： （1）给定，求和―结构问题； （2）给定和，求―散射问题。 § 2.1一维定态的一般性质 共6条性质。 性质1、当为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 证明：分能级无简并和有简并两种情况 能级无简并 对应能级，只有一个独立的本征波函数。 设 为与对应的本征波函数 取复共轭，因，则 也是与对应的本征波函数。 因无简并，则 可取，即可取为实函数。 能级有简并 对应能级，有两个或两个以上独立的本征波函数。例如，氢原子能级： ，波函数：， 简并度： 设集合 为与对应的本征波函数 取共轭得 集合 也是与对应的本征波函数。 只要中有一个波函数，例如不是实函数，那么就可用实函数 或 来取代，最后总能组合成一组实函数。 所以，当为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 空间反射变换：用算符代表空间反射变换 本征方程： 可以证明 为实数。只有当 为实数时上述方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。 宇称（parity）：空间反射变换算符的本征值 ． 宇称的可能取值： 空间反射不变的波函数具有正宇称。空间反射变号的波函数具有负宇称。还有一些波函数没有确定的宇称，它们不是空间反射算符的本征态。 [思考] 证明宇称 为实数。 [提示] 只要证明： 性质2、设，即具有空间反射不变性。对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。如果能级有简并，则总可以找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。 证明： （1）能级无简并 设是与能级对应的本征波函数 作空间反射变换。因， 空间反射不变，则 也是与对应的本征波函数。因无简并，则 即具有确定的宇称。 （2）能级有简并 设集合是与能级对应的本征波函数 空间反射得 集合也是与对应的定态波函数。 只要中有一个无确定宇称的波函数，例如，就可用有确定宇称的组合 来取代，最后总能组合成一组具有确定宇称的解。 总之，若空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。 [例题] 对于自由粒子，为实函数，且具有空间反射不变性。的本征值是二度简并的，对应两个独立的定态波函数 它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数 它们具有确定宇称 性质3、如果和都是与能级对应的本征波函数，则有 。 而对于束缚态（bound state ， ）则为 ． 证明： （1） （2） 若和为束缚态 ， 则有 性质4、规则的势场（无奇点）中的一维束缚态必定无简并。 证明：设和为与能级对应的两个束缚态 在和的零点之外的区域，由上式可得 能级无简并。 [思考] 证明：若规则势场为实函数时，则一维束缚态的概率流密度为零。物理上如何理解? 性质5、如图所示，束缚态的能量满足条件 ， 其中，代表势能的最小值；而 代表势能在外区（包括点）的最小值。 证明： （1）成立 外区： 若，则外区解 ，显然不是束缚态，因为不满足条件．因此，成立。 （2）成立 能量是的平均值 其中 ． 而 这里