彡理力答案_第一章.docVIP

1-1 图示曲线规尺的杆长mm，而mm。如果OA绕O轴转动的规律是，初始时，求尺上D点的运动方程和轨迹。 解：A点运动已知，欲求D点运动，可从D点相对A点的几何出发求解。以分别表示各点的坐标。 由，可知：运动过程中ACDE始终为一个平行四边形，从而：， OA绕O轴转动，转角 ， (mm)， (mm) 得到D点的运动方程为： 1-2 图示杆长为，绕点按的规律转动。与杆连接的滑块按的规律沿水平线作简谐振动，其中、、为常数，求点的轨迹。 解： 点的运动为滑块与杆二者运动的合成。在坐标中，时刻 代入 ，可得的轨迹为 1-3 半径为的半圆形凸轮以等速在水平面上滑动，如图所示，求当瞬时顶杆上升的速度大小与加速度大小（杆与凸轮的接触点为M）。 解：由已知条件可得M点的坐标为，，则方向上的速度和加速度分别为： （1） （2） 当时，，即 代入（1）式和（2）式，可以得到 ， 1-4 半径为R的圆弧与AB墙相切，在圆心O处有一光源，点M从切点C处开始以等速度沿圆弧运动，如图所示，求M点在墙上影子的速度大小与加速度大小。 解：如图所示。在直线运动，设其运动的位移、速度、加速度分别为。易知 ，， 于是 ， 注：此题较为简单，答案可能有不同表达方法，比如 ， 图示机构中，已知，，其中为常数，D是十字形导槽，求当时D点的速度大小与加速度大小。 解：由平面几何知识可知，点的运动轨迹为以中点为圆心，以为半径的圆弧。建立如图所示直角坐标系，则点的坐标为： 其中，。 点的速度和加速度为别为： 当即时，点的速度大小和加速度大小分别为： 1-6 小车A与B以绳索相连，放置如图。A车高出B车1.5m。小车A以匀速m/s前进而拉动B车，设开始时m。求5秒后小车B的速度大小与加速度大小。 解：在图示坐标系中，O为原点，小车B的水平坐标为，且令。 则，，且。 5秒后，，此时，，可得： 点M沿半径为r的圆弧运动，该点的速度在直径AB方向上的投影u是常数。求点M的速度大小、加速度大小和角φ的关系。 解：由，可得： 取如图所示的直角坐标系，则M点的坐标为： 对、分别对时间求导可得M点的速度、加速度分别为： 则 由题意：，由此可得：，则 。 把、代入，可得： 1-8 点沿半径为R的圆周运动，任一瞬时点的切向加速度大小都与法向加速度大小相等，初速度为v0。求走完第一圈所需的时间，并求回到出发点瞬时该点的速度大小、切向加速度大小、法向加速度大小。 解：根据题意，有 由已知条件， ，则 即，积分得 ln (1) 由初始条件，时 且 代入(1)式得 ln 因此 由上式，，则 ，积分 ， 此时 1-9 两质点A、B分别沿着两个半径分别为a、b的同心圆周运动，这两个质点的速率之比与所在圆周的半径成反比，求证：若两质点的相对速度与AB连线平行时，有。 证明：由于A，B两点的速度与其所在圆周的半径成反比，不失一般性，可设A，B两点的速率分别为：，，角速率：，，角速度方向相反。设A，B两点速度平行时，二者幅角：， B两点运动方程：,， 速度：， 第一次A，B两点的相对速度（）与AB连线（）平行，即 ，而 利用三角函数关系式化简得到： 进一步为：， ， 即证。 1-10 点在平面内运动（如图），如果有，其中h为常数，证明点的径向加速度等于，其中p为极点到运动轨迹在该点切线的距离。 解：如右图速度v可沿径向、横向分解为vr, v?。由相似性有??， 代入??， 故 。 而 ，因此 ，证毕。 1-9 若点在平面内运动，其运动方程为，，证明运动轨迹的曲率半径为。 证明：已知，，则点的速度和加速度分别为 ， 同时, ∴ （1） 又∵ ∴ 代入（1）式，可以得到 1-10 设摇杆AB绕A轴按的规律转动， 。滑块B在固定的圆形滑槽内滑动，由可在摇杆AB的直线滑道内滑动。已知圆槽半径cm，试选为原点，用自然坐标法建立滑块B的运动方程，并求B的速度、加速度（切向和法向）。 解：如图1-10所示。设到之间的弧长为，点单位切向量和单位法向量为，。易知 故 ， 代入，知 ，， 1-11 OA杆绕O轴转动时，可在杆上滑动的销钉被限制在抛物线上运动，若（为常值），求在和时，点的速度和加速度。 解：由极坐标下点的速度和加速度公式并由（为常值）可得： (1) (2) 由得：