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广东商学院试题参考答案及评分标准 2008-2009学 年 第二学 期 （期中） 课程名称： 高等数学II (A卷) 课程代码：105052 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 本试卷共9题，第3题满分12分，其它各题满分11分 考试时间90分钟 1、设，其中为可微函数，求 【参考答案与提示】 隐函数求导，用公式法 令, 则 2、设计算： 【参考答案与提示】 + 3、在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小。求这切平面的切点，并求此最小体积。 【参考答案与提示】 设切点的坐标是(p,q,r)，则 （后面要用到） 椭球面的方程即： 切平面的法向量为： 切平面的方程为： （前面已经知道等式右侧等于1） 1 切平面在三个坐标轴上的截距分别是： 四面体的体积V= 只需要求出pqr的最小值即可，需要注意条件： 定义拉格朗日函数：L= 由解得: 切点为 最小体积= 4、计算积分： 【参考答案与提示】 交换积分顺序： ==sin1-1 5、计算积分：，其中D由曲线和直线围成。 【参考答案与提示】 使用极坐标 = = 令 原积分= 6、设区域D是两个圆和之间的闭区域，其中求该区域的形心。 【参考答案与提示】 使用极坐标 = 7、设直线L过点P(1,1,1)，并且与直线相交，与直线垂 直，求：（1）直线L的方程；（2）过直线L和直线L1的平面的方程。 【参考答案与提示】 (1) 设直线L和直线L1的交点为Q(p,q,r)。则 解得Q为（）。 = ，可以取直线L的方向向量=(9,2,-5). 直线L的方程为： (2) 直线L1的方向向量=(1,2,3). =(-16,32,-16)= 过直线L和直线L1的平面的法向量可以取成：: 过直线L和直线L1的平面的方程为： 即 8、计算曲线积分：，其中L是在圆周上从(0,0)到(0,2)的一段弧。 【参考答案与提示】 由格林公式知， = = 9、计算曲线积分：，其中L为由圆周，直线y=x及x轴在第一象限所围图形的边界。 【参考答案与提示】 （1） 的方程为y=0： （2）的方程为 （3）的方程为: ∴原积分=