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经典算法设计方法 经典算法设计方法 professional 2009-07-22 18:25 阅读174 评论0 字号： 大大 中中 小小 一、什么是算法 算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。 算法的时间复杂度是指算法需要消耗的时间资源。一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f n ，算法执行的时间的增长率与f n 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。时间复杂度用“O（数量级）”来表示，称为“阶”。常见的时间复杂度有： O（1）常数阶；O（log2n）对数阶；O（n）线性阶；O（n2）平方阶。 算法的空间复杂度是指算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。 二、算法设计的方法 1.递推法 递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N 1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i 0或i 1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。 【问题】 阶乘计算 问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k 1，2，…，n）的全部有效数字。 由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储： N a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100 并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0] m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！ 120，在数组中的存储形式为： 3 0 2 1 …… 首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。 计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘 k-1 ！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！ 24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。 # include # include # define MAXN 1000 void pnext int a[ ],int k int *b,m a[0],i,j,r,carry; b int * malloc sizeof int * m+1 ; for i 1;i m;i++ b[i] a[i]; for j 1;j k;j++ for carry 0,i 1;i m;i++ r i a[0]?a[i]+b[i]:a[i] +carry; a[i] r%10; carry r/10; if carry a[++m] carry; free b ; a[0] m; void write int *a,int k int i; printf “%4d！ ”,k ; for i a[0];i 0;i-- printf “%d”,a[i] ; printf “\n\n” ; void main int a[MAXN],n,k; printf “Enter the number n: “ ; scanf “%d”,n ; a[0] 1; a[1] 1; write a,1 ; for k 2;k n;k++ pnext a,k ; write a,k ; getchar ; 2.递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N 1时，能直接得解。 【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fi