2010年数模A题获奖论文.docVIP

储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要：当储油罐倾斜时，由于油液面的偏转使油位计读数不准确，不能真实反映油罐中的油量。在本次建模过程中我们首先通过求解没有变位的油罐模型，发现我们可以对其作V—H拟合，得到的预测误差为10-7 ，为下文作曲线拟合提供了可靠的依据。问题一中，我们在求解模型时，采取理论推导，主要运用积分学推导出倾斜油罐的剩余油量与油位计读数之间的等式关系，随后进行了一次误差检测，得到误差中位数为0.03825。但是在误差分析中，我们认为浮子对整个模型产生了系统误差，利用油罐储油量差值对高度的变化率，进行二次拟合，得到体积波动与高度的关系，加入此部分的误差处理后，模型的精度得到进一步的提高（误差中位数为0.016273），因此我们将此模型作为模型一得改进模型。同时我们通过观察V—H之间的理论等式关系，发现V—H之间的关系不仅仅是简单的一次关系，更有复杂的三角函数关系，我们猜想V—H之间符合三次方的关系，但是这并能作为我们进行拟合的严格的理论依据，于是对于给定的实验数据中的无变位进油进行了数据拟合，然后用无变位出油进行了数据检验，发现拟合出的数据与实际数据之间的误差中位数为0.000493，由此我们认为进行三次拟合是可行的，因而采用了最高次项为三次多项式曲线拟合，得到精度更高的模型二（三次曲线拟合模型，得到的误差中位数为0.000757）。为此我们选择模型二作为罐容表标定的V-H关系函数，解决问题一的油罐容量的标定。问题二中，模型一分析及解决方法与问题一大致相同，但是与问题一不同的是，问题二中的变位参数及初始储油量为未知量，在对题目进行分析后，我们将纵向倾斜角度 和横向偏转角度 合成测量杆的实际偏转角θ，利用积分原理，进行理论推导，从而最终确定油罐储油体积V与杆的实际偏转角θ及油位高度h的定量关系。在建立问题二的模型二时，要采用拟合的方法，必须确定纵向倾斜角度 和横向偏转角度 的具体数值，于是我们分析所给的实际数据，利用cosθ 当前出油量/ 前一次油罐显示体积-当前油罐显示体积 确定出θ的具体数值为7.143025度，然后通过数据拟合的方法反求变位参数纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ， 3.76o , 6.08o 。求出 ， 后，就可对油罐储油量与高度的进行拟合，最终的的误差中位数为0.0002，这样的效果相当好，据此我们对第二问中的罐容值进行了标定，得到了罐容表。 关键字：倾斜油罐 定积分 曲线拟合 中位数检测 误差分析 一、问题的重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。附图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。附图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，附图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 需要解决的问题： （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 4.10的纵向变位两种情况做了实验，请根据所给的实验数据建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（已给出），根据问题，建立的数学模型，确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用题目给出的实际检测数据来分析检验所建模型的正确性与方法的可靠性。 二、问题分析 问题一中考虑到要研究罐体变位对罐容的影响，并由油位高度得出一个标定的罐容表，我们分析认为首先需得到油罐储油量与油位高度的定量关系。方法一根据积分的概念，表示出不同位置体积元与高度的关系，然后对体积元进行加和，便可得到一个油罐储油量与油位高度的理论式子，由此式子即可得不同油位高度相对应的罐容值，从而得到题目要求的罐容表。方法二为了使用理论推导建立的模型更加符合实际，可把已建立的模型作为基础，对实际数据进行一个数据拟合，确定一组与实验数据相符合的系数，从而实现对模型的改进。 问题二中，解题思路与问题一大致相同，方法一仍根据积分推导出油罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系，方法二则有所不同，因为