同济大学概率论与数统计第三章.pptVIP

第三章 §3.1条件概率与独立性 一 条件概率 二 随机事件的独立性 三 独立性在可靠性问题中的应用 四 贝努利概型与二项概率 一 条件概率 问题的提法： （1）给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，问“事件A发生的概率”？ （2）在上述前提下，问“已知某事件B已经发生了，那么事件A发生的概率是多少”？ 例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个红色7个兰色。现从中任取一球，记 A 取到玻璃球 ，B 取到兰色球 则 P（A） 6/16，P（B） 11/16。 AB 取到兰色玻璃球 ， P（AB） 4/16 上述概率可以记为P（A│B） P（A│B） 4/11 事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为 11个兰色球 ，n 11 进一步我们发现， P（A│B） P（AB）/P（B） 定义 ：给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于任意两个事件A、B，其中 P（B）＞0，称 P（A│B） P（AB）/P（B） 为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 条件概率也是概率，满足概率的公理化定义中的三条公理，即 公理1. P（A│B）≥0； 公理2. P（Ω│B） 1； 公理3. P（∪Ai│B） ∑P（Ai│B） 且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。 比如： 例2．5个乒乓球，3个新的，2个旧的。每次取一个，无放回地取两次。记 A 第一次取到新球 ，B 第二次取到新球 求：P（A），P（AB）， P（B│A）. 解：p A 3/5, 　　 p AB 3×2 / 5×4 3/10, 　　 p B|A p AB /p A 1/2 例3 课本第18页例1.14 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年 的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建 筑物经历了50年之后，它将在10年内 倒塌 的概率有多大？ 解：B：该建筑物的寿命在５０年以上，A：该建筑物的寿命在６０年以上． 所求概率为 　p ā|B 1-p A|B 1-p AB /p B 　 1-p A /p B 1-0.6/0.8 　 1/4 注意此处p AB p A 　　由条件概率的定义立即得到概率的乘法公式： 当P（A）＞0　或P（B）＞0　时， P（AB） P（A）P（B│A） 或 P（AB） P（B）P（A│B） 乘法公式可推广到多个随机事件上去 ， 　　　P ABC p A p B|A p C|AB 　例5，10个考题中，4难6易。三人参加抽题 （不放回），甲先、乙次、丙最后。记事件A、B、C分别表示三人各抽到难题。试求： 　　　P（A），P（AB），P（ABC）. 解: P A 4/10 2/5, P AB p A p B|A 4/10 ×3/9 2/15, P ABC p A p B|A p C|AB 2/15×2/8 1/30. 一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张，A 抽到K ，B 抽到红桃 ，可以验证事件A,B是相互独立的. 抛一枚均匀硬币2次，A 第一次正面向上 ，B 第二次正面向上 ,可以验证事件A,B是相互独立的. 样本空间为 正正，正反，反正，反反 例1中我们也可以这样来求： 定义可以推广到n个事件上去 　由题意 1- 0.4 n ≧0.99 　　解出n ≧5.027,即至少需要6门炮才能以99%的把握命中敌机。 三 独立性在可靠性问题中的应用 系统可靠度为 四. 贝努利概型与二项概率 §3.2 全概公式与逆概公式 一 ．全概公式 定义　设Ａ１，Ａ２，…Ａn满足下面的条件： 　 （１）Ａ１，Ａ２，…Ａn两两互不相容； 　 （２）Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａn Ω 　则称Ａ１，Ａ２，…Ａn构成样本空间Ω的一个划分（或称构成一个完备事件组）． 在例２中又问：若取到的是正品，那么它是由甲厂生产的概率是多少？ 在例3中又问：若这个人迟到了，那么他是坐轮船来的概率有多大？ 例６．一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出阳性．假设已知该种疾病的发病率为0.5%，求已知一个个体在检出是阳性的条件下，该个体确实患有此病的概率．（0.324） 设B 被检出阳性 ，A1 带菌者 , A2 不带菌者 , 且已知p A1 0.005,p B| A1 0.95, p B| A2 0.01 　设Ｂ＝｛桥式系统正常工作｝，Ａ＝｛元件５正常工作｝． 当Ａ发生时桥式系统如左图： 当Ａ不发生时桥式系统如右图． 1 2 3 4 * * 问“如果已知取到的是兰色球，那么它是玻璃球的概率”是多少？ . 思考： 相互独立与互不相容有何区别？ 上述定理也