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第四章 矩阵力学基础 Ⅱ ——表象理论 4.1态和算符的表象表示 1．态的表象表示 1 坐标表象 以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的x坐标为例。算符本征方程是 4-1-1 本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得 （4.1.2） 展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。 2 动量表象 以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。以动量算符为例，其本征态为： 4 .1 .3 将量子态按展开 4 .1 .4 C px 就是动量表象中的波函数。这正是第二章中已熟知的结果。 动量表象也可以用动量为自变量表示。在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数 （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于 4. 1. 2 式的方式给出。 3 任意表象 设有某一线性厄米算符。为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。它的本征方程为 4.1.6 将波函数按算符的正交归一本征函数系展开 （4.1.7） 展开系数 an t 就是波函数必在Q表象中的表示。它可由的正交归一性推出。将 4.1.7 式两边分别乘并对空间积分，得 4 .1 .8 an t 的物理意义是：当体系处在以 r,t 所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。因此我们可以用一组系数 t 代替户 ,t 来描述该状态。将数列a 1 t ，a2 t ，…，an t ，…写成一个列矩阵，则 r,t 在Q表象的表示为 （4.1.9） 它的共轭矩阵是 （4.1.10） 归一条件是 （4.1.10） 4.1.9 式是波函数在Q表象中的表示。 现在对上述态的表象表示作些说明： i 希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量是个复矢量。 ii 刚好是的本征态，满足 4.1.11 由于已归一，故有,代入 4-1-8 式，得 （4.1.12） iii 本征谱连续，则相应的表示式为 4.1.13 4.1.14 4.1.15 波函数在表象中用相应的连续的列矩阵表示。 iiii ，可以给出下述对应关系 量子态希尔伯特空间中的态矢量； 波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示； 任意算符的本征函数系表象的基； 不同表象不同基，不同坐标系； 本征函数基矢； 厄米算符的本征函数系一组完备的基矢 2．算符的表象表示 假定在原来的x表象中，波函数 经算符作用后变为另一波函数 ，即 （4.1.16） 只是x的函数。将及分别按 展开 （4.1.17） （4.1.18） 则在表象中，态和分别由 及 这两个列矩阵表示。将（4.1.17）及（4.1.l8）式代入 4.1.16 式，得 （4.1.19） 以乘（4.1.19）式两端并对x作积分，得 即 （4.1.20） 其中 （4.1.21） （4.1.20）式也可直接用矩阵表示为 （4.1.21） （4.1.21）式是算符在 表象中的表示。在选定表象后，算符对一个矩阵。这个矩阵的第n行第m列的矩阵元Fnm是算符 作用在第m个基矢um x 后得出的函数 与第n个基矢的内积。 容易将上述结果推广到连续谱的情况。作为例子，假定算符就是动量算符，则在动量表象中的矩阵元是 （4.1.24） 若是厄米算符，则它在表象所对应的矩阵必为厄米矩阵.的确，对 4.1.21 式取复数共厄并由的厄米性得 4.1.25 这说明矩阵F与它的共扼矩阵相等 4. 1.26 因此F是厄米矩阵。 如果选择的表象就是算符自身的表象，在表象中，算符对应的矩阵元是 （4.1.27） 4-1.27 式表明:算符在自身的表象中对应对角矩阵，对角线上的元素就是算符的本征值。 4.2矩阵力学表述 在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用矩阵表述，从而构成矩阵力学。仍以表象为例，量子力学公式可通过下述公式表示: [1]波函数 ， （4.2.1） 2 算符 算符用矩阵表示，其矩阵元满足 （m 1,2,…….） 4.2.3 3 平均值公式 （4.2.4） 4 归一条件 将波函数及其共扼复数式按表象的基矢展开，即将 4. 1. 17 式代入归一条件后，得 4.2.6 4.2.6 式用矩阵形式表示为 1 4.2.7 或记为 （4.2.8） （5） 本征值方程 算符的本征值方程为 （4.2.9） 其中为本征值。将及在表象中表示出来，可得（4.2.9）式的矩阵形式： （4.2.10） （4.2.10）式可改写成 （4.2.11） 或 （4.2.12） 方程（4.2.12）式