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第2章6线性方程组的误差分析
线性方程组的误差分析 邹昌文 * 方程组的性态 在建立方程组时，其系数往往含有误差（如观测误差或计算误差），就是说，所要求解的运算是有扰动的方程组，因此需要研究扰动对解的影响。 线性方程组的误差分析 / Error Analysis for Linear system of Equations/ 求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ ? 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 ? 设 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即 Wait a minute … Who said that ( I + A?1? A ) is invertible? (只要? A充分小，使得 是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为cond (A) , 越 则 A 越病态， 难得准确解。 大 注: ? cond (A) 的具体大小与 || · || 的取法有关，但相对大小一致。 ? cond (A) 取决于A，与解题方法无关。 ? 常用条件数有： cond (A)1 cond (A)? cond (A)2 特别地，若 A 对称，则 条件数的性质： ? A可逆，则 cond (A)p ? 1； ? A可逆，? ? R 则 cond (? A) = cond (A) ； ? A正交，则 cond (A)2=1； ? A可逆，R正交，则 cond (RA)2 = cond (AR)2 = cond (A)2 。 精确解为 例： 计算cond (A)2 。 A?1 = 解：考察 A 的特征根 39206 1 ? 测试病态程度： 给 一个扰动 ，其相对误差为 此时精确解为 2.0102 200% *
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