专题：数列的综合应(含答案).docVIP

专题：数列的综合应用 【知识概要】 1．数列求和的常用方法 （1）公式法适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列裂项相消法适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等错位相减法适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。 倒序相加法类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 分组求和法累加（乘）法等1） 1+2+3+...+n = 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5） 6）高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。 解：（Ⅰ）由 得 即 可得 因为，所以 解得，因而 （Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故 则数列的前n项和 前两式相减，得 即 例2、数列的前项和为，已知 （Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式； （Ⅱ）设，求数列的前项和。 解：由得：，即，所以，对成立。 由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。 （Ⅱ）。 而， ， 例3、已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列： （Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}； （I）解法一： 故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an} 例4、 在等差数列中，公差的等比中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项 解：由题意得：……………1分 即…………3分 又…………4分 又成等比数列, ∴该数列的公比为，………6分 所以………8分 又……………………………………10分 所以数列的通项为……………………………12分 【题型2】数列与不等式的综合题 例5、已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1． （1）求证：数列是等比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式； （3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值． (1) [证明当n=1时,a2=2a,则=a； 2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列. (2) 解由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,…,2k). （3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn； 当n≥k+1时, bn. 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－) =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) ==. 当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立. 的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 例7、设，定义，其中n∈N*. （1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若， 解：（1）＝2，，， ∴ ∴，∴数列｛an｝上