现代控制理论_第3章_能控性和能观测性.ppt

于是原系统的能观测形动态方程为： (3-115) 与变换前原系统动态方程(3-108)相比，可导出将原系统化为能观测标准形的变换矩阵为 ，简称进行 变换，即 对偶原理对离散系统同样适用。 第五节 线性时变系统的能控性和能观测性 时变系统动态方程中的 的元素均为时间函数，定常系统中关于由常数矩阵 构成的可控性、可观测性判据不以适用了，这里首先遇到如何定义时变列向量的线性无关性问题 一 格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用 给定 矩阵 且表示成列向量组： 其转置矩阵 则格兰姆阵定义 为： 为 维矩阵，且记为： 式中元素 格兰姆行列式为det或 利用格兰姆行列式det 或格兰姆矩阵 能表示出给定矩阵 的列向量是否相关的条件。 设非齐次线性方程组 ，据解的存在定理，当  时，有解：当 任意时，使 有解的充要条件是 。由于 ，即 ，于是有： 其中 乃是 个平方项之和，恒大于零，故 该式表示出 为正定二次型函数， 为正定矩阵。已知正定矩阵存在 。于是矩阵 的 个列向量线性无关的充要条件可表示为：格兰姆阵 是正定的，或格兰姆行列式不为零 ，或格兰姆阵是非奇异的。 同理，可根据 的正定或非奇异来确定 的 个行向量无关。 在时变系统情况下， 各元素均为时间函数，如果在某时刻系统可控，在另一时刻则可能是不可控的。因此，想判断 时间间隔内诸时变列向量的线性无关性，应考虑在 区间内由如下积分所构成的格兰姆阵是否正定或非奇异来确定： 式中元素 当 正定或非奇异时，表示 的 个列向量线性无关。 同理可由 正定或非奇异来确定 的 个行向量线性无关。 二、时变系统的能控性 设时变系统状态方程为 若存在一个控制向量 ，在 区间内能使任意起始时刻的任意初态 转移到任意终态 ，则称时变系统在区间是完全可控的。这里仍不失一般性地假定 。 线性时变系统在 区间完全能控的充要条件是下列格兰姆矩阵 (3-118) 非奇异。式中 为时变系统状态转移矩阵。 证明 先证明充分性，即 非奇异时必能控。由于 非 奇异，必存在 ，如下控制 (3-119) 确能在 区间将初态 转移到终态 。 由时变系统状态方程的解 令 ，且把 代入，并利用 ： 再证明必要性，即能控系统的 必非奇异。用反证法，即系统能控，而 却是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于 奇异，于是 的行向量在 区间线性相关，必存在非零行向量 使 (3-122) (3-121) 因而系统是能控的。充分性得证。 在 区间成立。那么 时，状态方程的解 左乘 ，且选择一个特殊初态 ,有： 左乘 得 （3-124） 考虑到 及及式(1-122)，应存在 ，这意味着 必须为零向量，而与前面假定 为非零向量是相矛盾的。于是证明了可控系统的 必非奇异。 应用以上判据需计算 ，计算量相当大，需计算机来进行。 有必要重复提出， 的非奇异表明