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高考数学中数列的通项公式常考题型 王祥（内蒙古乌海市第十中学 016040） 数列的通项公式是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一大热点。纵观近几年的高考试题，对数列部分的考查，无论是小题还是大题，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。因此，求数列的通项公式成为解题的出发点和突破口。基于此，本文力图以近几年来的高考题为例进行分析，给出求数列通项公式的几种常用方法，以供大家参考。 题型一：观察归纳法 就是观察数列的特征，横向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。 例（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 答案：C 解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C. 题型二：公式法 数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项公式时，只需求出a1与d或a1与q，再带入等差、等比公式中即可。 例(2012年天津) 已知是等差数列，其前n项和为，｛｝是等比数列，且==2, , 。求数列｛｝与｛｝的通项公式； 解：设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故 题型三：利用an与sn的关系 如果给出条件是an与sn的关系式，可利用先求出a1=s1，若计算出的an中，当n=1时，求出a1=s1，若符合则合并为一个通项公式，否则要分段。 例（2009安徽卷文）已知数列的前n项和，数列的前n项和 （Ⅰ）求数列与的通项公式； （Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜ 解：(1)由于 当时, 又当时 数列项与等比数列,其首项为1,公比为 （Ⅱ）略 题型四：已知数列的递推公式求通项公式 类型1：形如 方法：累加法或逐差法：…，，将以上各式相加得…。 例（2010年全国新课标理17）设数列满足 求数列的通项公式； 令，求数列的前n项和 解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时， 。 而 所以数列{}的通项公式为。 (Ⅱ)略 类型2：形如 方法：累积法：…=…（，…）。 例设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 时， ==. 类型3：形如 方法：可用待定系数法转化为等比数列。 待定系数法：设，即，与原式比较，得，即，从而得数列是公比为的等比数列。 例（2006年重庆）在数列中，若，则该数列的通项。 解：设，与原式比较得，即，所以{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项. 类型4： 方法：倒数法：对取倒数，得，再将其转化为等差数列或类型3. 例（2011年广东20）设b0,数列满足a1=b，. （Ⅰ）求数列的通项公式； (Ⅱ)证明：对于一切正整数n， 解（Ⅰ），两边取倒数得， 设，则， （1）当时，是以为首项，为公差的等差数列， 即，∴ （2）当时，设，则， 令，得，， 知是等比数列，，又， ，． (Ⅱ)略。 作者资料： 姓名：王祥 性别：男 学历：大学本科 出生日期：1982年4月20日 专业：数学与应用数学 工作单位：内蒙古乌海市第十中学 职称：中教二级 邮编：016040 邮箱：591044564@ 工作经历：毕业至今在内蒙古乌海市第十中学担任高中数学教师工作 联系电话投稿日期：2012-11-23