工程数学课件——第二章：矩阵论2.pptVIP

1 . 换法 交换单位矩阵E 的第 i 行与第 j 行（或交换E 的第 i 列与第 j 列）: 第i 行 第j 行 第i 列 第 j 列 第 i 行 第 i 列 2 . 倍法 给单位矩阵 E 的第 i 行乘以非零数 或给 E 的第 i 列乘以非零数 : 3 . 消法 将单位矩阵 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行 或看作是将 E 的第 i列的k 倍加到第 j 列 : 第j 行 第i 行 第i列 第j列 性质1 初等阵可逆且其逆还是同类初等矩阵. 初等矩阵转置还是初等矩阵. 性质2 2. 初等矩阵的性质 运算性质 对称矩阵 反对称（方）矩阵: AT - A 对称（方）矩阵: AT A 1 4 3 -1 4 -3 0 1 3 0 0 5 -1 1 5 2 例: 0 4 3 -1 -4 0 -2 1 -3 2 0 5 1 -1 -5 0 例: 定义：如果A为复矩阵 称为 A 的共轭矩阵（conjugate matrix）. 7. 矩阵的共轭 课堂讨论: 矩阵与行列式有什么联系和区别? 矩阵是一个矩形的数表，而行列式是一个数，二者在本质上是完全不同的概念，它们之间的联系是方阵按一定运算法则确定的一个数值。 在解方程 ax b 的时候,如果 a ? 0, 等式两边同乘以 a-1, 得 x a-1b . 线性方程组 AX b, 能否在一定条件下引进 A-1 的概念,使得解为 X A-1b ? 由数a-1 a 1想到定义 A-1A E. A应当满足什么条件?如何定义A-1 ? §2.3 逆 矩 阵 问题2：为什么要引进逆矩阵？ 定义 A 为n 阶方阵, 若存在 n 阶方阵 B, 使 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵,称B 为 A 的逆矩阵 invertible matrix .记作 B A-1. 注 定义中矩阵 A 与 B 的地位是相同的,如果 A 可逆,且 B 是 A 的逆,则 B 也可逆,且 A 也是 B 的逆,即 A 与 B 互逆. 1. 逆矩阵的定义 思考: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,哪些是不可逆阵 ? 大家可以验证 当 k1k2…kn≠0 时,有: E-1 E 若矩阵 A 可逆,则 A 的逆矩阵唯一. 证 设 B, C 都是矩阵 A 的逆矩阵,则有 定理 2.1 可推广至有限个积 可逆阵满足运算规律: ? 如何求一个可逆矩阵的逆矩阵? 方法一：伴随矩阵 即乘法的消去律成立. 可以推出 ? 当A可逆时,由 ? 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?（见定理2.2） 若A, B可逆,而A+B 不一定可逆，即使可逆一般 ? 设 A为n 阶方阵, A* 是用方阵A的元素的代数余子式 组成的矩阵称为伴随矩阵 adjoint matrix . 2. 可逆的条件 若A为n阶方阵，则 A A﹡ A﹡A ｜A｜E 引理 基本公式 从而 |A| ? 0.必要性得证. 证 若A可逆,则 定理 2.2设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则A 可逆的充分必要条件是｜A｜≠0，且 A 可逆时有 故矩阵A可逆,且 若 |A| ? 0, 则由 ? ｜A｜ 0 时, A 不可逆，奇异阵 singular matrix ? ｜A｜≠0 时, A 可逆，非奇异阵 non-singular matrix ? 在|A| ? 0时, 也可逆 逆矩阵的应用 例如对线性方程组 m n 且A为可逆方阵时： 对线性变换 其逆变换为： 对矩阵方程 其解为： 例5 求 A 的逆矩阵 解 所以A 可逆 注：按定义法求逆只适用于低阶方阵。 验算 实际上我们在解线性方程组的过程中经常用到下面的一些变换: 1.互换两个方程的位置；2.用一个非零常数乘某个方程；3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去。这三种变换不会改变原来方程组的解,本质上就是对应于矩阵（数表）的三种初等变换. 矩阵的初等变换在行列式的计算，矩阵求逆，解线性方程组，求二次型等计算中具有重要作用。 §2.4 矩阵的初等变换 问题3：为什么要讨论矩阵的初等变换？ 矩阵的三种初等行变换: 换法变换: ri?rj 倍法变换：?ri ??0 ?ri 消法变换: krj+ri?ri 矩阵的三种初等列变换： 换法变换: ci?cj 倍法变换：?ci ? ?0 ?ci 消法变换：kcj+ci?ci 1. 矩阵的初等变换 定义 矩阵的三种初等行变换和三种初等列变换统称为矩阵的初等变换 elementary transformation . 定义 矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵