电磁场与波课件——第一章 矢量分析.pptVIP

第一章 矢量分析 * 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念 其中： ——面积元矢量； ——面积元的法向单位矢量； ——穿过面积元 的通量。 如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是 面积元矢量 第一章 矢量分析 * 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 有净的矢量线进入 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义 第一章 矢量分析 * 3. 矢量场的散度 定义：流出单位体积元封闭面的通量 第一章 矢量分析 * 散度的物理意义 矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 讨论，在矢量场中： 若 ，则该矢量场称为有源场， ?为源密度 若 处处成立，则该矢量场称为无源场 第一章 矢量分析 * 直角坐标系下散度表达式的推导 即流出 不失一般性，令包围P点的体积元?V 为一直平行六面体，如图所示。则 o x y 在直角坐标系中计算 z z D x D y D P 和 两面元的通量为： 第一章 矢量分析 * 于是根据定义求得散度为： 同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得： 第一章 矢量分析 * 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 散度的表达式： 散度的有关公式： 第一章 矢量分析 * 4. 散度定理 高斯定理 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 通量与散度的关系： 第一章 矢量分析 * 1.5 矢量场的环流和旋度 矢量场的环流与旋涡源 第一章 矢量分析 * 环流的定义： dl F C 第一章 矢量分析 * 2. 矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度 称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。 单位面元边界闭合曲线的环流： 特点：其值与点M 处的方向 有关。 第一章 矢量分析 * 任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度的投影： （2）矢量场的旋度 第一章 矢量分析 * 而 推导 的示意图如图所示。 o y Dz Dy C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 直角坐标系中 、 、 的表达式 第一章 矢量分析 * 于是 同理可得 故得 第一章 矢量分析 * 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 第一章 矢量分析 * 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 第一章 矢量分析 * 3. 斯托克斯定理 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 环流与旋度的关系： 第一章 矢量分析 * 4. 散度和旋度的区别 第一章 矢量分析 * 本两节节重点 通量/环流的概念与计算 散度/旋度的定义与计算 必须记住直角坐标系下的散度/旋度公式 散度/斯托克斯定理 第一章 矢量分析 * 散度与旋度分别表征了矢量场在不同方向的空间变化率 第一章 矢量分析 * 习 题一、思考题二、提交：1.1; 1.9; 1.12; 1.16; 1.18; 1.21; 1.23 ; 1.27 第一章 矢量分析 * 1. 矢量场的源 1.6 无旋场与无散场 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 第一章 矢量分析 * 2. 矢量场按源的分类 （1）无旋场 性质： ，线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 第一章 矢量分析 * （2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即 性质： 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如，恒定磁场 第一章 矢量分析 * （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 第一章 矢量分析 * 1.7 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念： —— 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式： 圆柱坐标系 球坐标系 第一章 矢量分析 * 矢量拉普拉斯运算 概念： 即 注意：对于非直角分量， 直角坐标系中： 如： 第一章 矢量分析 * 亥姆霍兹定理: 在无限空间中，当矢量场的源分布在有限区域时，该矢量场可表为： 式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区