故障的统计检测原理.pptVIP

由于 所以 上式第一项与判决区划分无关，故R最小等价于第二项的被积函数在Zi区内为最小，即 由上式可推出： 证毕。 例：设M-1＝2，Cij＝1，i≠j 和Cij＝0，i＝j。画出此三元假设的判决区。 解：由贝叶斯判决准则得 （1） （2） （3） 将λ0、λ1、λ2的表达式代入式（1），可得 和 时，判H0为真。 （4） （5） 引入 则上面两个不等式（4）、（5）可写成 同理可得 根据上面的判决关系可画出该三元假设的判决区如下图所示。 图 三元假设的判决区 三、序贯概率比检验 序贯概率比检验（Sequentical Probability Ratio test -SPRT）并不预先规定观测样本的数目，而是在检验过程中不断增加观测数据，一直到满足要求的PF和PM为止。 固定抽样：一个产品抽样检验方案规定按批抽样品20件，若其中不合格品件数不超过 3，则接收该批，否则拒收。在此，抽样个数20是预定的。 序贯抽样：第一批抽出3个，若全为不合格品，拒收该批，若其中不合格品件数为x13，则第二批再抽3-x1个，若全为不合格品，则拒收该批，若其中不合格品数为 x23-x1，则第三批再抽3-x1-x2个，这样下去，直到抽满20件或抽得 3个不合格品为止。 对N次独立样本R(N) ＝ ｛r(1), r(2), …, r(N)｝建立似然比 式中， 比较：序贯抽样其效果与固定抽样相同，但抽样个数平均讲要节省些。此外，序贯抽样方案除了可节省抽样量之外,还有一种作用,即为了达到预定的推断可靠程度及精确程度，有时必须使用序贯抽样。 给出两个门限T(H1)和T(H0)，则SPRT的判决规则为 由此可得出用SPRT的判决空间如下图所示。 序贯概率比检验时判决空间的划分 1、序贯概率比检验的门限 检测门限T(H0)和T(H1)，可根据要求的PF和PM确定， 满足 时，R(N)落在判决区Z1中。在判决区Z1中积分上式可得： 即 故 同理，当满足 时，R(N)落在判决区Z0中。在判决区Z0中积分上式可得： 即 故 上述确定的检测门限T(H0)和T(H1)，称为瓦尔德（Wald）门限。 2、序贯概率比检验的平均检测时间 设在H0和H1为真的条件下，用序贯概率比检验作出判决所需的平均样本数目分别为 和 。 N为终止检验的样本数目。 当获得第N个样本而终止检验时有四种可能性： 则终止检验时似然比LN（R）的平均值为： （当H0为真） （当H1为真） 注意到在｛r(k)｝具有独立同分布的条件下，有 （i=0, 1） 式中， 是在Hi条件下r(k)的似然比。 （1） （2） （3） 将式（1）代入式（3），可得 将式（2）代入式（3），可得 （4） （5） H0为真时，SPRT作出判决所需的平均样本数 H1为真时，SPRT作出判决所需的平均样本数 例：设｛r(k)｝为独立同分布状态随机序列，其方差为1，在H0假设下，其均值为0，在H1假设下，其均值为1。规定PF=PM＝0.1，求序贯概率比检验的平均时间。 解：因为 故 在 中，令N=1，可得 从而 再由上面推导的式（4）和式（5）： 即平均取4次样本即可满足检测性能的要求。 可得： ， ｛r(k)｝在H1假设下均值为1；在H0假设下均值为0。 3、缩短序贯概率比检验延迟的方法 序贯概率比检验是不断增加数据数目一直到似然比达到某个门限为止。 对数似然比可写成下面的递推形式： 式中， 由式 因此，在未发生故障前，对数似然比一直附加负值，使 可能很负，当故障发生后，必须积累一段正值项，才能使 变正而达到门限 ，这就造成了检测延迟。 可以看出， 对数似然比在递推过程中当H0为真时，附加一项负值，当H1为真时，附加一项正值。 延迟情况如下图所示。 图 序贯概率比检验造成检测延迟的情况 为了克服检测延迟，可采用补偿的方法，即将似然比中负的累加项补偿至零。 引入补偿信号U与似然比累加项叠加： 当lnL(r(k)) ≥0 当lnL(r(k)) ＜0 具有已知方差的正态总体均值的序贯概率比检验： 仿真例子： 假定观察序列x1，x2，…，xm，…是来自具有未知均值为μ和已知方差为σ2的正态总体。现在用备择假设H1：μ= μ1来检验零假设H0：μ= μ0。 则有 H0 、H1成立下的联合概率密度函数分别为： 求似然比得： 作以下比较： 1. ；接受零假设H0：μ= μ0； 2. ；拒绝零假设H0：μ= μ0； 3. ；则继续采下一个样本，并重新 计算 ，重复以上的判断。 A,B为瓦尔德门限 而接受备择假设