第一章 矢量分析(lsf).ppt

《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 《电磁场与电磁波理论》 习 题一、关于矢量代数1.3; 1.5; 1.9二、关于矢量分析 1.12; 1.16; 1.20; 1.23;1.27 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无旋场。 1.6 无旋场与无散场 1.6.1 无旋场 结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。 重要性质： 无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即 例如：静电场 1.6.2 无散场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。 结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质： 无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场 例如，恒定磁场 （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 1.7 拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作： 式中： 称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中： 在圆柱坐标系中： 在球面坐标系中：(1.7.3) 矢量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中： 1 .7 .2 格林定理 将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积, 则有 取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得 格林(G .Green)第一定理 梯度的运算 直角坐标系： 哈密顿算符 矢量和微分性 球面坐标系： 柱面坐标系： 梯度运算相关公式 式中： 为常数； 为坐标变量函数； 例1.2.1 试证明：① ；② 。 式中， 和 分别表示对场点坐标和源点座标的哈密顿算符。 第1章 矢量分析 1-* 证明：① 第1章 矢量分析 ②依梯度的基本公式 1.4 矢量场的通量与散度 1.4.1 矢量线（力线） 矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义： 为矢量 沿有向曲面 S 的通量。 1.4.2 矢量场的通量 矢量线 O M 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 1) 面元矢量 定义：面积很小的有向曲面。 ：面元面积，为微分量，无限小 ：面元法线方向，垂直于面元平面。 说明： 2) 面元法向 的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向 若S 为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正通量源； 若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负通量源； 若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无通量源。 通过闭合面S的通量的物理意义： 1.4.3、矢量场的散度 散度的定义 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： 即流出单位体积元封闭面的通量。（通量源密度） 散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)； 矢量场的散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。 ( 正源) 负源) ( 无源） 若 处处成立，则该矢量场称为无散场 若 ，则该矢量场称为有散场，?为源密度 讨论：在矢量场中， 第1章 矢量分析 1-* 直角坐标系中的散度表示式 在直角坐标系下：