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第一节 齐次方程的变量分离法 第十章 勒让德多项式 10.1 勒让德方程的引出 10. 2 勒让德方程的求解 10. 3 勒让德多项式 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式, 并且使所得的多项式在x 1处取的值等于1, 取an为 10. 6 函数展开成勒让德多项式的级数 注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 1725～1833）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为勒让德函数. 综合可得如下结论： （1）当 不是整数时，勒让德方程在区间 上无有界的解． （2）当 为整数时，勒让德方程的通解为 ，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， 称为第二类勒让德函数. 为整数，且要求在自然边界条件下 即要求在 有界解的情况下 求解，则勒让德方程的解只有第一 类勒让德函数即勒让德多项式 ．因为第二类 勒让德函数 在闭区间 上是无界的． 则称u x,r 为勒让德多项式的生成函数（母函数） 叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数） 10.5 勒让德多项式的生成函数（母函数） 如图10.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为 的正电荷，则在球内任一点 （其球坐标记作 ）的静电势为 （10.5.1） 静电势 遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴， 因此， 应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解的形式， 即 （10.5.2） 首先不妨研究单位球内的静电势分布．在球心 ，电势应该是有限的，故必须取 （10.5.3） 为确定系数 ，在上式中令 ，并注意到 则得到 （10.5.4） 将上式左边在 的邻领域上展为泰勒级数 （10.5.5） 比较（10.5.4）和（10.5.5）即知 于是（10.5.3）成为 10.5.6 若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有 （10.5.7） 于（19.3.6）中代入 ，即为 （10.5.8） 因此 或 叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数） * * * * * * 勒让德方程的引出 勒让德方程的求解 勒让德多项式 函数展开成勒让德多项式的级数 10.1 勒让德方程的引出 在球坐标系下 Laplace方程的表达式为 令 代入上式得 用 遍乘各项并移项整理，即得 10.1 勒让德方程的引出 引入参数 分解整理得 欧拉型方程 球函数方程 欧拉方程通解 为任意常数。 10.1 勒让德方程的引出 求函数方程两端同时乘以 并移项得 引入参数 分解可得两个常微分方程 10.1 勒让德方程的引出 10.1 勒让德方程的引出 第一个方程与自然周期条件 结合，构成本征值问题 解之可确定本征值 和相应的本征函数 10.1 勒让德方程的引出 第二个方程为 连带的勒让德方程 令 ，并记 勒让德方程 m 0时 6.1 勒让德方程的引出 10. 2 勒让德方程的求解 考虑勒让德方程 将其代入勒让德方程，得 令 比较可得 c 0时 10. 2 勒让德方程的求解 依此可得 递推公式 10. 2 勒让德方程的求解 其中 10. 2 勒让德方程的求解 10. 3 勒让德多项式 可以将其它系数一一推算出来，即 将10.2中的递推公式写成 有 10. 3 勒让德多项式 一般地当 时，有 当n为正偶数时，将这些系数代入到 中得到 10. 3 勒让德多项式 n为正奇数时，将这些系数代入到 中得到 这两个多项式可以统一写成 n 阶勒让德多项式 图象 勒让德多项式的微分表达式 多项式的Rodrigues表达式 10. 3 勒让德多项式 当为整数时,取 中总有一个是勒让德多项式，在[ －1，1 ]上有界， 这时另一个函数仍是无穷级数，记作 此时Legendre方程的通解为 称为第二类Legendre函数，它在[ -1，1 ]上 仍是无界的. 10. 3 勒让德多项式 故必须取常数 从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式：