现代控制理论第3讲.ppt

现代控制理论第三讲 王 凯 明 作 业 P49 1—6 传递函数的约旦标准型实现 P49 1—7 由状态空间表达式求系统传递函数 P50 1—9 状态空间表达式变换为约旦标准型 * * 长安大学信息工程学院自动化系 主要内容: 一、系统状态空间表达式的非唯一性 二、系统特征值的不变性及系统的不变量 三、状态空间表达式变换为约旦标准型 1、系统的特征值 2、系统的不变量与特征值的不变性 3、特征矢量 求变换矩阵T的方法 1、A阵为任意形式 2、A阵为标准型 1－5 系统状态方程的线性变换 一、系统状态空间表达式的非唯一性 在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性； 等效变换过程就有很大程度上的随意性； 系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的状态方程。 独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。 将各变量次序颠倒 一般地,设给定系统的状态空间表达式为 将原状态向量作线性变换得到另一状态向量 新的状态空间表达式 例1—8 设某系统的状态空间表达式为 (1)若取变换矩阵 (2)若取变换矩阵 (3)若取变换矩阵 二、系统特征值的不变性及系统的不变量 1、系统的特征值 2、系统的不变量与特征值的不变性 系统的特征值就是系统矩阵的特征值,也即是特征方程 的特征根 同一系统,经非奇异变换后可得: 其特征方程为 特征多项式的系数 3、特征矢量 一个n维矢量以A作为变换矩阵,得到一个新的矢量 变换后仅长度发生变化而方向不变,即满足 则称 为A的对应 的特征矢量 [例1—9] 求矩阵 的特征值 特征方程为： 解: A的特征值就是特征方程的根,即 (1)设对应于 的特征矢量为 (2)设对应于 的特征矢量为 (3)设对应于 的特征矢量为 三、状态空间表达式变换为约旦标准型 问题: 变换为 求变换矩阵T的方法 1、A阵为任意形式 设系统矩阵有n个互异的特征根 对应的特征矢量为 则变换矩阵 可将原系统状态方程化为对角型 证明: 系统矩阵有n个特征根互异,故其特征矢量线性无关 则变换非奇异 则逆矩阵存在,并可把原系统状态方程变换为 （1）特征值无重根时 两边左乘 则有 [例1—10] 将下列状态方程化为对角型 由例1—9可知A的特征值及对应的特征矢量分别为： 解: 变换矩阵为: （2）特征值有重根时 设A的特征根有q个 的重根（设其几何维数为1）,其余n—q个根互异 把原系统化为约旦标准型的变换矩阵T计算方法为 其中 对应n—q个单根的特征矢量,求法同前. 对应q个 重根的各向量 求法如下 特征矢量 广义特征矢量 [例1—11] 将下列状态方程化为约旦标准型 解: A的特征值 对应于 的特征矢量为 对应于 的另一个广义特征矢量为 对应于 的特征矢量为 变换矩阵为: 2、A阵为标准型 （1）特征值无重根时 （2）特征值 有三重根时 （3）有共轭复数根时 3、系统的并联实现 系统的传递函数= (1)具有互异根的情况 （2）具有重根的情况 * * *