【高三总复习】203高中数学技能特训：7-2简单几何体的表面积和体积(人教B版) 含解析.docVIP

7-2简单几何体的表面积和体积 基础巩固强化1.(文)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2　　　　　　　 　B.πa2 C.πa2 D．5πa2 [答案]　B [解析]　 三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：O1B＝×＝，所以半径R2＝2＋2＝， 所以球的表面积是S＝4πR2＝，故选B. (理)(2012·昆明第一中学模拟)侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1，BC＝，若球O的体积为π，则这个直三棱柱的体积等于(　　) A．1　　　　　　 　　 　B. C．2 D. [答案]　D [解析]　设球O的半径为R，则＝，R＝，设ABC外接圆半径为r，BC边上的高为h，则h＝＝，(h－r)2＋()2＝r2， r＝1；设棱柱的高为H，则R2＝r2＋()2， H＝4，V棱柱＝×××4＝. 2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　) A．2 B．1 C. D. [答案]　B [解析]　由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V＝××1×＝1. 3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为(　　) A．29cm　　B．30cm　　C．32cm　　D．48cm [答案]　A [解析]　如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得 9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)， h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm. [点评]　抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，H＝29(cm)，解题过程就简捷多了． 4.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为(　　) A．12个 B．13个 C．14个 D．18个 [答案]　B [解析]　由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？ 5．(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是(　　) A．96　　B．48　　C．24　　D．16 [答案]　B [解析]　已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆．设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝，R＝2，a＝4，于是V＝a2·2R＝48. (理)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于(　　) A．4π　　　B．3π　　　C．2π　　　D．π [答案]　A [解析]　 ∵AB⊥BC，AC为截面圆的直径，AC中点为截面圆的圆心． 设D为AC中点，连OD，则OD平面ABC， SA⊥平面ABC， SA∥OD. 连SC，则SC＝＝＝2. 又SB＝，BC＝，SC2＝SB2＋BC2， SBC＝90°，SAC＝90°，SC为球O的直径， 2R＝2，故R＝1，S球＝4πR2＝4π，选A. 6．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　) A．6　　　　B．9　　　　C．12　 　 　D．18 [答案]　B [解析]　由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S＝×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，体积V＝×9×3＝9. 7.(2011·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________． [答案]　 [解析]　由展开图可知，该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1， 高h＝＝， 体积V