【创新设计】201高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：大题综合突破练4.docVIP

突破练(四( 1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x，xR. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h(x)的图象，再将h(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式，并求g(x)在[0，π]上的值域． 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x， f(x)＝2sin (2x＋)＋1. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ， 得kπ－≤x≤kπ＋，kZ. ∴f(x)的单调递增区间为，kZ. (2)∵f(x)＝2sin (2x＋)＋1h(x)＝2sin ＋1， x∈[0，π]， x－[－，]． sin (x－)[－，1]． g(x)在[0，π]上的值域为[0,3]． 2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表： 答对题目数 [0,8) 8 9 10 女 2 13 12 8 男 3 37 16 9 (1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率； (2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率． 解　(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A， P(A)＝1－＝0.45. (2)设答对题目数小于8的司机为A、B、C、D、E，其中A、B为女司机，任选出2人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE，共7种． 记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M，则P(M)＝＝0.7. 3．已知四棱锥P－ABCD中，PC底面ABCD，PC＝2，且底面ABCD是边长为1的正方形．E是最短的侧棱PC上的动点． (1)求证：P、A、B、C、D五点在同一个球面上，并求该球的体积； (2)如果点F在线段BD上，DF＝3BF，且EF平面PAB，求的值． (1)证明　设PA的中点为M，连接AC，CM，则PAC为直角三角形， CM＝PM＝AM＝. 设正方形ABCD的中心为点O，连接OM，则OMPC，OM＝1，PC⊥底面ABCD， OM⊥底面ABCD，又O为BD的中点，连接BM，DM， 则BM＝DM＝＝，CM＝PM＝AM＝BM＝DM，故点P、A、B、C、D在以M为球心，半径为的球上，且V球M＝π()3＝π. (2)解　连接CF并延长交AB于K，连接PK. EF∥平面PAB，EF平面PCK， 平面PCK∩平面PAB＝PK， EF∥PK，DF＝3BF，又ABCD，CF＝3KF. EF∥PK，CE＝3PE，＝. 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3. (1)求an，bn； (2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn. 解　(1)当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1， 两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，an－1＝2n－1， an＝2n＋1， 3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3， bn＋1＝. 当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式， bn＝. (2)由(1)知，bn＝， Tn＝＋＋＋…＋＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， ①－，得Tn＝3＋＋＋…＋－ ＝3＋4×－＝5－， Tn＝－. 5．已知点M(－1,0)，N(1,0)，动点P(x，y)满足：|PM|＋|PN|＝2. (1)求P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C上存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程． 解　(1)由|PM|＋|PN|＝2知道曲线C是以M，N为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，b＝，所以曲线C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝my＋1，代入椭圆方程整理得 (2m2＋3)y2＋4my－4＝0， 显然Δ＞0，则 假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，其充要条件为＝＋，则点Q的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．由点Q在椭圆上，即＋＝1. 整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4xx21＋6y1y2＝6. 又A、B在椭圆上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6. 故2x1x2＋3y1y2＝－3， 所以x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1， 将