圆锥曲线综合运用.pptVIP

②当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足上述方程． 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0. 总结：解决圆锥曲线中与弦的中点 有关的问题的常规思路有三种： (1)通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解； (2)点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解； (3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消二次项． 练习（2010山东理数21）：如图，已知椭 圆 的离心率为 ，以 该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双 曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为A,B和C,D. (Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 的斜率分别为 证明 ； （Ⅲ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在， 求 的值；若不存在，请说明理由. 圆锥曲线综合运用 知识体系网络 (1)椭圆的定义中，平面内动点与两焦点F1 F2的距离之和大于|F1F2|这一条件不可忽 视．若这个距离之和小于|F1F2|，则这个动 点轨迹不存在；若距离之和等于于|F1F2|， 则动点轨迹是线段F1F2. 圆锥曲线的定义及应用 热点一 (2)双曲线的定义中，要注意条件2a|F1F2|， 这一条件可以用“三角形的两边之差小于第 三边”来理解． 双曲线定义中，双曲线是由两个分支组成 的，故在定义中应为“差的绝对值”． (3)抛物线定义中，条件“点F不在直线l上” 不能忽视，否则轨迹是过F且与直线l垂直 的直线，而不是抛物线． 例1 已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点． (1)求|PA|＋ |PF|的最小值，并求此时 点P的坐标； (2)求|PA|＋|PF|的最大值和最小值． (2)如图所示，设椭圆右焦点为F1，则 |PF|＋|PF1|＝6， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. 利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1| (当P、A、F1共线时等号成立)， 分析　一般地，遇到有关焦点(或准线)问题 时，首先应考虑用定义来解题，椭圆上的 点到两焦点的距离问题应考虑第一定义， 椭圆上的点到焦点及到准线的距离问题应 考虑第二定义．即平面内一个动点到一个 定点的距离和它到一条定直线的距离的比 是小于1的正常数时，动点的轨迹叫椭圆。 (1)平面几何法 涉及到最值问题的几何意义主要有三个： 两点间的任意折线段长之和，以两点间直 线段长为最短． ||AB|－|AC||≤|BC|，当且仅当A、B、C三 点共线，且A在B、C外侧时取“＝”． 圆锥曲线中的范围问题 热点二 (2)目标函数法 建立目标函数与圆锥曲线有关的最值问 题，是常规方法，关键是选取适当的变 量建立目标函数，然后运用求函数最值 的方法确定最值． (3)判别式法 主要是由条件得到一个相关的一元二 次方程，该方程有解必须满足Δ≥0， 从而得到某个不等式． 例2 已知点M在椭圆 ＝1(ab0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F. (1)若圆M与y轴相交于A、B两点，且 △ABM是边长为2的正三角形，求椭圆方程； (2)若点F(1,0)，设过点F的直线l交椭圆于 C、D两点，若直线l绕点F任意转动时恒有 |OC|2＋|OD|2|CD|2，求a的取值范围． 【解】　(1) ∵△ABM是边长为2的正三角形， ∴圆M的半径r＝2， ∴点M到y轴的距离d＝ . (2)法一：设C(x1，y1)，D(x2，y2)． ①当直线CD与x轴重合时， 有|OC|2＋|OD|2＝2a2，|CD|2＝4a2. ∵c＝1，∴a2＝b2＋c21， 恒有|OC|2＋|OD|2|CD|2. ②当直线CD不与x轴重合时， 设直线CD的方程为x＝my＋1，代入椭圆 整理得(a2＋b2m2)y2＋2b2my＋b2－a2b2＝0. 又a2＋b2m20. ∴－m2a2b2＋b2－a2b2＋a20对m∈R恒成 即m2a2b2a2－a2b2＋b2对m∈R 恒成立． 当m∈R时，a2b2m2的最小值为0， ∴a2－a2b2＋b20. ∴a2a2b