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直线与圆在生活中的应用 河南省三门峡市卢氏一高 赵建文 数学来源于生活，并反过来为生活服务，本文将直线方程与圆的方程在生活中的应用作以简单介绍，供同学们复习时参考。 一、付钱多少问题 例1甲乙丙丁四人到花店去买花，甲买了6枝郁金香和3枝康乃馨所付的钱多于24元 ，乙买了4枝郁金香和5枝康乃馨所付的钱少于22元，丙买了2枝郁金香，丁买了3枝康乃馨，请问丙丁二人谁付的钱多？ 解析：设郁金香花每枝元，康乃馨每枝元，则、满足 ，要判断的正负，是线性规划问题。 作出可行域及目标函数，由图知 当过A（3，2）时，zmax 0,当B（0，4.4）时，zmin -13.2，∴z∈ -13.2,0 ,故丁付钱多。 点评：本题考查了线性规划在生活中的应用，掌握数学建模方法是解决实际问题的关键。 配套练习： 2007年5月7日12时一飓风中心在某港口南偏东600方向上，距港口400千米的海面上形成，并以每小时25千米的速度向正北方向移动，距飓风中心350千米以内的范围将受飓风影响，请你预报该港口是否受飓风影响及受影响的时间段。 参考答案： 以该港口为原点，正东方向、正北方向分别为、轴，建立直角坐标系。 则飓风形成时飓风中心坐标为P0，飓风中心在直线：移动，飓风形成t小时后，飓风中心P，有题知当|OP| 350时，该港口受飓风影响，即，整理得，解得，即5月7日18时该港口开始受飓风影响，22时飓风退出该市。 二、面积最大问题 例2在两直角边分别为30米、40米一块三角形空地上，请你帮忙设计一个矩形花园，使花园的面积最大。 解析：如图所示，用直角三角形AOB表示这块空地，其中OA 30，OB 40，要矩形花园最大，则矩形必内接于此三角形，且矩形一顶点与重合，另两点分别在OA、OB上，第4个顶点P在AB上，如图建立坐标系，则直线AB的方程：，设P （ 0, 0）、，, 则矩形面积 300 当且仅当即时， 点评：本题通过画图将实际问题转化为几何问题，再通过建立坐标系，转化为解析几何中的最值问题，利用均值定理解决之。 配套练习： 在半径为100米的圆形空地上，请你帮忙设计一个矩形游泳池，使游泳池的面积最大。 参考答案：要使游泳池面积最大，则矩形必外接于圆，以圆心为原点，矩形的对称轴分别为x、y轴建立坐标系。则圆的方程为：， 设矩形在第一象限的顶点A，则矩形的面积为 当，即时，m2,此时矩形的长和宽都为m 在圆形空地修建一个边长为141.4m正方形。 三、相遇问题 例3甲、乙两人同时从半径为3km的圆形社区中心出发，甲向东走，乙向北走，甲出发不久，因有事改变前进方向，斜着沿着切于社区周界的方向前进，后来恰好与乙相遇，甲、乙两人的速度都一定，其比为3：1，问甲、乙二人在何处相遇？ 解析：以社区中心为原点，正东、正北方向分别为、轴，建立直角坐标系。 设甲、乙二人的前进速度分别为3km/h、km/h，甲出发小时，在P点改变前进方向，又经过小时在Q点相遇，则P（3，0），Q 0， + ）则|OP| 3,|PQ| 3,|OQ| + 又∵|OP|2+|OQ|2 |PQ|2， ∴ 整理得 又 ① 于是 ②将①代入②得 法一：由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标 + 的值即为所求，现转化为“当直线与圆相切时，求纵截距的值”。 由圆心到切线的距离等于半径得，，解得， 因此，甲、乙相遇的地点在离社区中心正北km处。 法二：由△POQ的面积得，则 由①，得，， 点评：本题考查了圆的切线知识在生活中的应用，合理的建立直角坐标系，构建解析几何模型，通过设元、找关系，转化为数学问题，并作出定量或定性的分析与判断，是解决实际问题的关键。 配套练习： 中国南海某岛驻岛部队的地面雷达有哪些信誉好的足球投注网站半径为200海里，外国一海洋测量船正在在该海岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该海岛雷达能否发现该外国测量船，如能，求能观测到该测量船的时间长。 参考答案： 以该岛为原点，正东、正北方向分别为、轴，建立直角坐标系。 则雷达最大观测范围是一个圆，其方程为：， 外国测量船的航行路线所在的直线方程为：， 海岛到外国测量船的航行路线距离为： 200，故能被观测到， 航行路线被圆截得的弦|BC| ≈187.1 所以能观测到的时间为（小时） 四、建设规划问题 例4某地在一公路同侧有A、B两个村庄，相距2千米，A、B两个村庄到公路的距离分别为1千米和3千米，现在公路上建一车站，使车站到两个村庄的距离之和最小，请你帮忙选择车站的位置。 解析：以公路所在的直线为轴，过A点作公路的垂线作为轴，建立坐标系。过B作BD轴，过A作ADBD，垂足为D。则A（0，1），|BD| 2，|AB| 2,则|AD| 2，则，B点关于轴的对称点B/，连接AB/交轴于C，AB/：，令得，设C/为轴上不同于C的任意点，