2012年数学理科组卷（一）.docVIP

绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（类）试题参考答案 一、选择题 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10．二、填空题 （Ⅰ）（Ⅱ）13． 14．1000 15．8 16． 三、解答题（Ⅰ），得, 即，解得 或（舍去）. 因为，所以. （Ⅱ）得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 18． （Ⅰ）等比数列 解得 或 故，或. （Ⅱ）若，故是首项为，公比为的等比数列，从而.若，，是首项为，公比为的等比数列， 从而 故.综上，对任何正整数，总有. 故不存在正整数，使得成立（Ⅰ）直线∥平面，证明如下： ，因为，分别是，的中点，所以∥. 又平面，且平面，所以∥平面. 而平面，且平面平面，所以∥平面平面所以直线平面. （Ⅱ）（法），由（Ⅰ）可知交线即为直线，且∥. 因为是的直径，所以. 已知平面，而平面，所以. 而，平面，，因为平面. 故就是二面角的平面角，即. 由，作∥，且. 连接，，因为是的中点，，所以， 从而四边形是平行四边形，∥. 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角， 故为异面直线与所成的角，即， 于是在△，△，△中，分别可得 ，，， 从而，即. （Ⅱ）（法），作∥，且. 连接，，，，，由（Ⅰ）可知交线即为直线. 以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有 ,. 于是，，， 所以，从而. 又取平面的一个法向量为，可得， 设平面的一个法向量为， 所以由 可得 取. 于是，从而. 故，即. 20． （Ⅰ）由于随机变量服从正态分布故有 . 由正态分布的对称性，可得 . （Ⅱ）设型、型的数量分别为辆则相应的营运成本为. 依题意, 还需满足:. 由（Ⅰ）知，故等价于. 约束 且使目标函数达到最小的. 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为经过可行域的点P时，在y轴上截距最小， 故应配备型、型辆 21． 依题意可设椭圆的方程分别为 ：，：. 其中，（）解：与轴重合，即直线的方程为，则 ，，所以. 在C1和C2的方程，得，， 于是. 若，则，化简得. 由，可解得. 故当直线轴重合时，若，则. 解法2：如图1，若直线与轴重合，则 ，； ，. 所以. 若，则，化简得. 由，可解得. 故当直线轴重合时，若，则. （）解法1：存在直线l，使得：， 点，到直线的距离分别为，，则 因为，，所以. 又，，所以，即. 由对称性可知，所以， ，于是 . ① 将的方程分别与C1，C2的方程联立，求得，. 根据对称性可知，，于是 . ② 从而由①和②式可得 . ③ 令，则由，可得，于是由③可解得. 因为. 于是③式关于有解，当且仅当， 等价于. 由，可解得， 即，由，解得，所以当时，不存在直线l，使得； 当时，存在直线l使得.解：存在直线l，使得：， 点，到直线的距离分别为，，则 因为，，所以. 又，，所以. 因为，所以. 由点，分别在C1，C2，，两式相减可得， 依题意，所以. 所以由上式解得. 因为，可解得. 从而，解得，所以当时，不存在直线l，使得； 当时，存在直线l使得.，令，解得. 当时，，所以在内是减函数； 当时，，所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ），当时，有，即 ，且等号当且仅当时成立， 故当且时，有 .