2011年全国初中数学竞赛番禺区预选赛加式试卷.docVIP

2011年全国初中数学竞赛番禺区预选赛加式试卷 试卷（全卷满分为180分, 考试时间120分钟） 一 、选择题答题表 选择题为2011年广东省初中数学竞赛初赛试题，每题4分，共120分 。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A A B D A B C C D A B C B D D 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B A D C A B B A C B D D C C C 二 、解答题（共4小题，每题15分，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 31. 31. 已知抛物线. （1）求证：这个抛物线的图象与轴有两个交点； （2）若抛物线与轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求的值； （3）设为抛物线与轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点、，并且 △的面积等于27，试求的值. 32. 如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，E为AM上一点，．CD＝CF，求的值. 33. 如图，AB是⊙o的直径，AB d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC AB，连结OC交 ⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。 34.设a为整数,使得关于x的方程a- a+5 x+a+7 0至少有一个有理根，试求方程所有 可能的有理根. 解答题参考答案与评分说明 31. 已知抛物线. （1）求证：这个抛物线的图象与轴有两个交点； （2）若抛物线与轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求的值； （3）设为抛物线与轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点、，并且 △的面积等于27，试求的值. 31．解：（1）根据题意，得－x2＋mx－m＋2 0时， ，∵ 这个抛物线与轴必有两个交点。 （2）解：设抛物线与轴交点为，当－x2＋mx－m＋2 0时 ， ∵AB＝ ∴ ∴ ∴ ∴ 〖另法〗,……7分 ∵AB＝ ,, ∴ ∴ 又∵，∴取 （3）当 时, 得…………………………………………………11分 设，则 根据题意， 相加，得： ∵ ∴ 32. 如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，E为AM上一点，．CD＝CF，求的值. 32.解：如图，设．Rt△AFB∽Rt△ABC， 所以 ．FC＝DC＝AB即 ，，或（舍去）．Rt△∽Rt△，所以， 即 ． ① ………… 5 分 又∵ΔADE∽ΔBDA ∴ ② ……………………………………… 8 分 由①、②及AB AC，可得AE CD ……………………………… 10 分 又由ΔCDE∽ΔCAD可得， 即AE2 CD2 CE·CA 设AE x，则CE d－x ，于是 x2 d d－x ………………………… 12 分 即有AE x （负值已舍去） ……………………… 15 分 34. 设a为整数,使得关于x的方程a- a+5 x+a+7 0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根. 34.解：当a＝0时，方程的有理根为； ……2分 以下考虑a≠0的情况，此时原方程为一元二次方程， 由判别式即3＋18a－25≤0， ……5分 得整数a只能在其中的非零整数1，－1，－2，－3， －4，－5，－6，－7中取值，……………………………………… 10 分 由方程得 ……（※） 当a＝1，由（※）得x＝2和4； 当a －1时，方程无有理根； 当a＝－2，由（※）得x＝1和－； 当a －3时，方程无有理根； 当a＝－4，由（※）得x＝－1和； 当a －5时，方程无有理根； 当a＝－6，由（※）得x＝和－； 当a＝－7时，由（※）得x＝和；…………………………… 15分 1 学校:__________________, 班级: _____________,考号:______________, 姓名:_________________ 密 封 线 内 不 要 答 题 1 2 3 4 C D E O （第32题） （第32题图） （第33题图） C D E O A A B B