论点直线与圆锥曲线的位置关系.docVIP

论点、直线与圆锥曲线的位置关系 我们知道，平面内点与圆的位置关系有且只有三种： 若，即，则点在圆内；若，即，则点在圆上；若，即，则点在圆外. 类似的，平面内点与椭圆（焦点为）的位置关系也有且只有三种： 若，即，则点在椭圆内；若，即，则点在椭圆上；若，即，则点在椭圆外. 判断直线（不同时为）与圆的位置关系，可联立方程组,消去可得， ， 若，即. 设圆心到直线的距离为，则. 由此，我们可以下结论：若，即，则直线与圆相交；若，即，则直线与圆相切；若，即，则直线与圆相离. 那么，类似的情况是否可以引入到椭圆中呢？ 我们来看直线（不同时为）与椭圆（焦点为）的位置关系： 联立方程组, 消去可得 （*） ， 若，即. 设点、到直线（不同时为）的距离分别为、， 则. 这里，与圆不同的是，我们要注意到，若点、分别位于直线的两旁，则即使，直线与椭圆也并非相切，而是相交. 由此，我们可以总结出如下结论： 设、是椭圆的两个焦点，点、到直线（不同时为）的距离分别为、，且、在直线的同侧，那么直线与椭圆相交的充要条件为：；直线与椭圆相切的充要条件为：；直线与椭圆相离的充要条件为：. 下面进一步给出完整的证明： 直线与椭圆相交中 ； 同理可证直线与椭圆相离. 上述结论也可类比到双曲线中：设、是双曲线的两个焦点，点、到直线（不同时为）的距离分别为、，且、在直线的异侧，那么直线与双曲线相交的充要条件为：；直线与双曲线相切的充要条件为：；直线与双曲线相离的充要条件为：. 最后，我们再来看看直线（不同时为）与抛物线的位置关系： 联立方程组, 消去可得，. 显然，若，即，则直线与抛物线相交；若，即，则直线与抛物线相切；若，即，则直线与抛物线相离. 至于判断点与双曲线和抛物线的位置关系，大家可自行总结. 综上，掌握上述结论，有助于我们快速地判断点、直线与圆锥曲线的位置关系.并且，类比推理在数学中是一种重要的研究问题的方法，我们平时在学习的过程中，应多注意使用这一方法，可发散我们的思维，增强举一反三的能力. 教师在教学过程中，若能适时地引导学生正确地使用这一方法，也可激发学生的求知欲，培养学生综合分析问题的能力. 附加练习： 试判断下列几组直线与圆锥曲线的位置关系： 1. ，； 2. ，； 3. ，； 4. ，； 5. ，； 6. ，. 2