对一类含参数的导数问题的“新视觉”.docVIP

对一类含参数的导数问题的“新视觉” 含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，此类问题通常涉及最值和恒成立问题，要求学生在求解中重视分类讨论、数形结合、分离参数等基本思想的运用．由于含参数的导数问题往往涉及对参数的讨论，因此很多学生对“从何时开始讨论”、“怎样讨论”等问题不知所措．本文将就一类含参数的导数问题进行多角度、多方面的剖析，阐述对此类问题的求解方案的“新视觉”，以求在此类导数问题的求解中为学生求解策略的选择提供参考． 类型一：可以分离参数，转化为最值问题 例1已知函数（a为常数），若存在，使成立，则实数a的取值范围是 【分析】本题中，参数a可以比较方便的用含x的函数来表示，因此想到分离参数，转化为存在性问题，进而转化为最值问题． 解法一：存在，使， 即存在，使， 令 ，则，故在单调递增， 故，即在恒成立． 故存在，使． 令 ，即，下求在的最小值． 令 ， 则，， 故是函数的极小值点，也是最小值点． ∴，即在恒成立． 故在恒成立．∴在单调递增. ∴ 【解题回顾】在本题求解中，有两个难点：（1）需意识到在恒成立；（2）在对的讨论中，需对其部分分子进行在区间的值域分析，得出在恒成立．进而得出在恒成立． 纵观本题，可以分离参数，转化为最值问题．但在对新函数最值的讨论中需要“步步为营、逐个击破”，学生在求解过程中要思路清晰，以细求准． 其实在对的讨论中，得出“在恒成立”这个结论还有一个办法，就是直接对定号．请看下面的解法： 解法二：先按解法一的思路把问题转化为：存在，使． 令 ，即，下求在的最小值． ∵，∴， 故在恒成立．（下同解法一） 【解题回顾】上述解法显然要比“解法一”简单，但学生需在求解过程中，敏感地意识到这个定义域对函数符号的确定有很大作用．因此想到对的分子各项作合理组合，从构造出使的因式组合． 以上两种解法可以实施的前提是变量a可以比较方便的“分离”出来，用含x的函数来表示，且可以确定新函数是单调递增的．若变量a无法分离，或新函数的单调性无法确定（存在极值点，但又无法求出此极值点），那“分离参数”这个方法在此就不合适了．为此，本题还提供一种对此类问题的一般性解法． 类型二：分类讨论，逐一分析 解法三：存在，使， 令，即，下求在的最小值. ． （ⅰ）若，即时， 在恒成立．故在单调递增， ，故 （ⅱ）若，即时， 易得是在的极小值点，也是最小值点， 故， ∵，∴，∴，符合题意．故． （ⅲ）若，即时， 在恒成立．故在单调递减， ，∵，∴． 综上，． 【解题回顾】虽然解法一和解法二可以避免分类讨论，简洁程度明显优于解法三．但解法三给出了求函数最值的基本方法，适用范围较广，也要引起足够的重视． 事实上，在本题的解法三中，由于的分子可以因式分解，因此也为求解提供了一定的方便．那如果的分子不能因式分解呢？这时需采用求根公式得出两个根，进而进行讨论，其间还会涉及对的讨论．请看下面的例题： 变题：设，若对，均有成立，求实数m的取值范围． 解法一：即时，恒成立， 当时，m可为任何实数； 当，即恒成立． 令， 则 ∵，∴，∴在单调递减， ，∴ 解法二：对，均有成立等价于时， ，当时， （ⅰ）当时，，此时在上是减函数，，故符合题意； （ⅱ）当m0时，， 若，则，此时恒有， 由得，， 若0m1时，，得（舍去），，令得， 因而当时，， 此时，，∴符合题意． 当时，，时，，单调递减；时，，单调递增，此时，由得 ，故 综上所述，． 【解题回顾】本题的解法二涉及对不能因式分解的导函数的讨论，是此类问题最本质的求解策略．但是需要指出的是，在此类问题的求解中，能够分离参数的尽量分离参数，转化为最值问题，因为这样往往可以简化解题步骤，减少大量繁杂运算．如不能分离参数，需要进行分类讨论，讨论时要做到不重不漏、不慌不乱，逐一分析，纵观全局． 类型三：转化为以参数为新变元的问题求解 例2已知函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】本题虽然可以分离参数，但需对是否大于0讨论，这样一个问题变成了两个问题，比较浪费时间．同时，分离参数后，对新函数的导函数讨论会陷入到无法定号、又无法求出极值点的尴尬境地，因此不适合用分离参数解决．只能直接对求导，讨论其单调性，求出最小值（是一个关于a的函数），进而转化为对关于参数a的函数的分析． 解：等价于恒成立，即 若，，在单调递增，不符合题意． 若a0, ,故为极小值点 只需． 即实数a的范围即不等式的解集． 令， ，∴ ，，；，，； ∴是的极大值点，也是的最大值点． ∴，又， ∴，即． 【解题回顾】“分离参数”的解法虽然比较简洁，但有一定的局限性．当分离参数的方法受阻时，只能转为直接求最值，此时要求学生随着解题步骤的深化灵活应对，及时构造关于参数a的函数再次进行分析求解．