线性代数课稿.ppt

第一章 行列式 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算——对角线法则 = a11a22 – a12a21 三阶行列式的计算——对角线法则 逆序数 　　在一个排列( i1 i2 ··· is ··· it ··· in )中, 若数 isit , 则称这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数． n 阶行列式的定义 或 上三角行列式 下三角行列式 对角行列式 2010、2011期末考题，填空 n 阶行列式的性质 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 行列式按行(列)展开 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. 两个重要结果 (1) 克拉默法则 定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表为 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式。 定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: 如果齐次线性方程组的系数行列式 D?0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理4: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它的系数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数行列式D必为零. 行列式的计算方法小结 1. 直接用定义（非零元素很少时可用） 2. 化三角形行列式法 此法特点：程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的字母行列式适用。 3.降阶法 利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开. 1.“三线型”行列式化成三角形行列式 上面的行列式称为“三线型”行列式，指的是行列式 出了某行，某列和对角线元素或次对角线元素非零 外，其余元素均为零。 计算方法：变为上三角行列式或下三角行列式 例: 计算行列式 上面的行列式是另一种“三线型”行列式 例: 计算行列式(和课后题6(5)类似) 上面的行列式称为“爪形三线型”行列式 课后习题 6(5) 证明 2009年期末 考题 计算行列式 2012年选考 例: 计算 n 阶行列式 可以按上例计算的行列式的共同特点： 行列式每行元素的和相同。故，可把其他列元素 加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列 元素变为1. 行列式不同行元素只有两个或三个元素不同，其 余全相同。故，可用第一行元素去减其他行元素， 把行列式变为(上、下)三角行列式。 答案: [a+(n-1)b](a-b)n-1 2. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法) 三、计算下列各题 2010年选考 答案: [x+(n-1)a](x-a)n-1 三、计算下列各题 2010、2012年期末考题，课后题8(2) 三、计算下列各题 答案: (-1)n-1(n-1) 2011年选考 例: 计算 2008年期末考题 计算行列式 例：计算n+1阶行列式 3. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角 形行列式或三线型行列式 课后习题8（5）计算行列式 2010、2011年期末考题，课后习题8(6) 行列式的特点：每行(列)除对角线外元素相同，或者每行(列)对角线以上(下)元素相同。 要点：将行列式加一行(列)，利用所加的行（列）元素 ，将行列式化成三角形行列式或三线型行列式。 加边法(升阶) 计算行列式 例2: 计算 　　评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同, 需要利用