一元微积分A：无穷小与无穷大.ppt

一、无穷小 二、无穷大 第六节 无穷小与无穷大 一、无穷小(infinitesimal) 1. 定义: 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 2. 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 二、无穷大(infinite) 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 证 (vertical asymptote) 定理4(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一 过程中,无穷大的倒数为无穷小;不恒为零的无 穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,　都可归结为关于无穷 小的讨论. 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 三、总结 几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.