克罗内克（德国）LeopoldKronecker(1823~1891).pptVIP

克罗内克（德国）Leopold Kronecker（1823~1891） 第一次数学危机 无理数的发现 希帕苏斯Hippasus(公元前470年左右） 第一次 数学危机 芝诺悖论 第一次 数学危机 数与量的分离 亚里士多德Aristotle (384-322 BC) 欧几里得Euclid (ca. 325-ca. 270BC) 数学的基本问题: 什么是量？ 第二次数学危机 微积分的起源 芝诺悖论: 飞矢不动 瞬时速度 贝克莱: 它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！ 无穷级数 无穷级数 达朗贝尔（法国）J.-le-R. d’Alembert (1717~1783) 雅典学园 西尔维斯特（英国）James Sylvester (1814~1897) 雅可比（德国）Jakob Jacobi (1804~1851) 柯西（法国）Augustin Cauchy (1789~1857) 外尔斯特拉斯（德国） Karl Weierstrass (1815~1897) ε-δ语言 一致收敛的必要性 重新定义基本概念 高斯（德国）Karl F. Gauss (1777-1855) 万物皆数！ 数系的扩张 无理数是什么？ 无理数是什么？ 代数数 超越数 刘维尔（法国） Joseph Liouville (1809~1882) 1873年: e是超越数 戴德金: 《连续性与无理数》(1872) 戴德金-康托公理: 直线上任何一点都与实数域的一个数一一对应。 The End 分析应建立在算术的基础之上 1817年: 真理只存在于算术之中 第一次数学危机 第二次数学危机 数系的扩张 无理数的逻辑基础 新的危机 当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，…却发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上能被我们准确地掌握住…。而本身缺乏准确性的东西，就不能称其为真正的数…。因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。 斯蒂费尔（德国,Michael Stifel,1486~1867) 自然数→整 数: 加法、减法 整 数→有理数: 乘法、除法 有理数→无理数: 乘方、开方 整 数（加法、减法）→自然数 有理数（乘法、除法）→整 数 无理数（乘方、开方）→有理数？ 加、减、乘、除、乘方、开方 无理数→有理数？ 初等无理数: 复合无理数: 代数数 所有有理系数多项式方程的根 勒让德（法国, A.-M. Legendre, 1752~1833） π可能不是代数数 实数 无理数 有理数 超越数？ 代数数 欧拉(瑞士，Leonhard Euler, 1707~1783) 超越数: 超越了代数的能力 有理数 初等无理数 复合无理数 1844年 超越数的存在 埃尔米特（法国） Charles Hermite (1822~1901) 林德曼（德国） Ferdinand Lindermann (1852~1939) 1883年: π是超越数 康托尔（德国）Georg Cantor (1845~1918) 戴德金 （德国）Julius Dedekind (1831~1916) 定义实数: 在有理数域上 建立实数的运算法则 康托尔: 实数=有理数+无理数(1883) 康托尔 实数: 良序、无界、封闭、稠密 有理数: 不完备（充满空隙） 实数: “单调有界数列必收敛” 实数: 有理数的一个（柯西）序列(a1 , a2 ,…, an,…) an→ a * God made the natural numbers, all else is the work of man. 2003年4月30日 数学危机 第 8 讲 数学危机The Crisis in Mathematics 第二次数学危机 万物皆数！ 无理数的发现 万物皆数？ 数与量的分离 毕达哥拉斯Pythagoras (ca 560–ca 480 BC) 点是位置的单位元素 任意两条线段都是可公度的 万物皆数 Everything is a number 宇宙的和谐: 一切事物都可以归结为整数与整数之比 1 1 勾股定理 a b c 无理数的发现 x、y互素 x、y均为偶数 无理数的发现 是一个不可公度的数 不可公度量的发现 自然数是一切的基础 素数: 数的原子 不可公度: 数的原子？ 芝诺 Zeno 约495 BC ~ 430 BC O