大学数学线性代数经典课件53.ppt

一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 思考题 思考题解答 * 1. 等价关系 k个 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 1、利用矩阵A和对角矩阵的相似，可以很容易得到A的特征值 2、利用矩阵A和对角矩阵的相似,可以计算矩阵多项式 利用对角矩阵计算矩阵多项式 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 证明 凯莱-哈密顿定理 证明 必要性 命题得证. 必要性得证. 充分性 　　　如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． 说明 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. A能否对角化？若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 　　１．相似矩阵 　 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： ２．相似变换与相似变换矩阵 　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算． 　　相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．