自动控制第五章根轨迹法.pptVIP

分离角：根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角 * 分离角：根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角 * 根与系数的关系x1+x2+…+xn=-b/a X1x2…xn=-c/a * 绘制根轨迹的基本条件 * 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分布，与开环根轨迹的增益K1无关。 结论：满足相角条件的s值代入幅值条件，总可以求得一个对应的K1值。相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，绘制根轨迹只需要满足相角条件就可以，而幅值条件主要是用来确定根轨迹上各点对应的开环根轨迹增益K1值。 例题5-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为： 在s平面上取一试验点s1=-1.5+j2.5，试检验它是否为根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。 解：开环极点为0，-2，-6.6 开环零点为-4 根据相角条件检验s1是否是根轨迹上的点，即： j? ? 0 p2 p3 p1 z1 s1 5.8 3.6 2.6 2.9 幅值条件确定K1 * 第二节 绘制根轨迹的基本规则 * 法则1：根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数等于闭环特征根的个数，也等于系统的阶数。闭环系统的特征根只有实根和共轭复根两类，因此根轨迹对称于实轴。 法则2：根轨迹的起点和终点：从开环极点出发；趋向开环零点或无穷远处。 当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。 * 第二节 绘制根轨迹的基本规则 当 时，① ，上式成立。 是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若nm，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。 我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。 那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？ 由根轨迹方程知：当 时 * 第二节 绘制根轨迹的基本规则 法则3：实轴上的根轨迹：在实轴上根轨迹区段的右侧，开环实零点和实极点的数目之和应为奇数。 p3 p4 j? ? 0 p1 z1 s1 ?1 ?1 =0 ?3 ?4 p2 由图可见，复数共轭极点到实轴s1 点的向量相角和为2?，复数共轭零点如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。 s1 点左边开环实数零、极点到s1 点的向量相角为零。而s1 点右边开环实数零、极点到s1 点的向量相角为?。 结论：只有在实验点s1右方的实数极点和实数零点的总数为奇数的实轴线段上，才能有根轨迹的存在。 * 第二节 绘制根轨迹的基本规则 根轨迹与正实轴的夹角： 根轨迹与实轴的交点： 绘制根轨迹的规则 * 【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为： 解： (1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处 (3)根轨迹的渐近线 ? j? K1 ?? K1 ?? K1 ?? Kb Kc Kc 绘制根轨迹的规则 * 法则5：根轨迹的分离点和汇合点：几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点成为根轨迹的分离点。特别的又把根轨迹同时离开实轴的那一点叫分离点，同时又回到实轴的那一点叫汇合点。 方法一：极值法 分离点是根轨迹增益的极值点，满足方程： ? j? K1 ?? K1 ?? K1 ?? Kb Kc Kc 方法二：试探法 设分离点的坐标为： 分离角为： 绘制根轨迹的规则 * 一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。 绘制根轨迹规则 * 【例5-3】求【例5-2】中分离点b的坐标： ? j? K1 ?? K1 ?? K1 ?? b Kc Kc 方法一：极值法 系统特征方程为： 或者： 绘制根轨迹规则 * 方法二：试探法 设分离点的坐标为d： 分离角为： * 法则6：根轨迹的出射角和入射角：在开环复数极点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的出射角；在开环复数零点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的入射角。 出射角:从复数极点出发的角度 入射角:到达复数零点的角度 绘制根轨迹规则 * 将上式推广： 绘制根轨迹规则 p1