线性代数B-2.4 矩阵的初等变换-s.ppt

矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它起源于解线性方程组的消元法。 利用初等变换，可以将矩阵A化为形状简单的矩阵B，通过形状简单的B来探讨A的性质。在求逆阵及矩阵理论的探讨等研究中都起重要的作用? 。 一、矩阵的初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： 一、矩阵的初等变换 二、矩阵的等价关系 初等矩阵的性质 例5* 四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程 本例为用初等行变换求矩阵多项式的逆阵，只需在求解过程中将矩阵多项式看成一个整体即可. 任课教师:胡凤珠 课本§2.5 矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 二、矩阵的等价关系 三、初等矩阵 四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程 定义1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： 定义1 一、矩阵的初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： 定义1 一、矩阵的初等变换 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换． 注意 矩阵的初等变换的逆变换仍是初等变换，且 逆变换和原变换是同一类型的初等变换. 或A → B ? 二、矩阵的等价关系 满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，例如矩阵B: (1) 元素全为零的行 (若有的话)位于矩阵的下方; (2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大. 二、矩阵的等价关系 满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵,例如矩阵C ： (1) 各非零行的首非零元都是1； (2) 每个首非零元1 所在列的其余元素都是零. 二、矩阵的等价关系 矩阵D称为原矩阵A的标准形，具有的特点是： D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是0. 二、矩阵的等价关系 满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵: (1) 元素全为零的行 (若有的话)位于矩阵的下方; (2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大. 二、矩阵的等价关系 注意：可以存在r=0或m=n=r的情况 矩阵D称为原矩阵A的标准形，具有的特点是： D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是0. 二、矩阵的等价关系 定义3 对单位矩阵E 进行一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵.三种初等变换对应三种初等矩阵. 三、初等矩阵 1、 交换两行(列)? 2、 以非零数k 乘某一行(列)中的所有元素? 3、 把某一行(列)的 l 倍加到另一行(列)上去? 三、初等矩阵 三、初等矩阵 三、初等矩阵 |A|≠0 初等矩阵均可逆，初等矩阵的逆也是初等矩阵。 |E|=1,利用行列式的性质。 三、初等矩阵 三、初等矩阵 三、初等矩阵 定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个m?n矩阵? 对A施行一次初等行变换? 相当于相应的 m阶初等矩阵左乘A? ~ r1?r2 补例? 设 ? 则有 定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个m?n矩阵? 对A施行一次初等行变换? 相当于相应的 m阶初等矩阵左乘A? 对A施行一次初等列变换? 相当于相应的 n 阶初等矩阵右乘A? ~ c1?c2 补例? 设 ? 则有 定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个m?n矩阵? 对A施行一次初等行变换? 相当于相应的 m阶初等矩阵左乘A? 对A施行一次初等列变换? 相当于相应的 n 阶初等矩阵右乘A? ~ c1+10c3 补例? 设 ， 则有 四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程 定理3(矩阵可逆的充要条件) n阶方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积。 证明： 充分性：初等矩阵可逆，如果将 A表示为初等矩阵的乘积，则因为有限个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵（p45），故n阶方阵A可逆。 必要性：设矩阵A可逆，则由推论1可知，矩阵A经过有限次初等变换可以化为单位矩阵E，再由定理2可知存在初等矩阵P1,P2，…… Ps，Q1,Q2，…… Qt，使得 P1P2…… Ps A Q1Q2…… Qt= E. 所以 A= Ps-1 Ps-1-1 …… P1-1 E Qt-1 Qt-1-1 …… Q1-1 = Ps-1 Ps-1-1 …… P1-1 Qt-1 Qt-1-1 …… Q1-1. 定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个m?n矩阵? 对A施行一次初等行变换? 相当于相应的 m阶初等矩阵左乘A? 对A施行一次初等列变换? 相当于相应的 n 阶初等矩阵右