2.3 线面垂直、面面垂直的判定.doc

课题一：直线与平面垂直的判定 一、教学目标 1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； 2.掌握判定直线和平面垂直的方法； 3.培养几何直观能力，在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”。 2、指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知 1、长方体模型 （1）感知直线与平面的垂直关系。 （2）能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？概括其定义。 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图2-3-1 2、提出问题，思考： （1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ （2）活动：准备一块三角形的纸片，做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ A B D C 图2.3-2 ，求证： （分析：线面垂直线线垂直线面垂直） 例2、在正方体中，求直线和平面所成的角.　 例3、 已知AB为平面(的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面(，垂足为O，直线BC在平面(内，已知∠ABC=60°，(OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角. 例4、 平行四边形ABCD所在平面(外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD 例5、如图，已知AP所在平面，AB为的直径，C是圆周上的任意，过点A作 于点E. 求证：平面PBC. （四）归纳小结，课后思考 小结： 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。 ② 直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？ ③ 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况. ④ 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角. ⑤ 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影. 练习 1、求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。 2、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？ 3、平行四边形所在平面外有一点，且，求证：点和平行四边形对角线交点的连线垂直于和． 补充例题： 例6．已知：平面和一点，求证：过点与垂直的直线只有一条． 证明：不论在平面内或外，设直线，垂足为（或）若另一直线，设确定的平面为，且 ∴ 又∵在平面内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点与垂直的直线只有一条。 例7．定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（线面垂直的性质定理） 已知：如图， 求证： 证明：（反证法）假定不平行于，则与相交或异面； （1）若与相交，设， ∵ ∴过点有两条直线与平面垂直， 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，∴与不相交； （2）若与异面，设，过作， ∵ ∴ 又∵且， ∴过点有直线和垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， ∴与不异面，综上假设不成立， ∴． 说明：例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中． 例8．已知直线平面，垂足为，直线，求证：在平面内． 证明：设与确定的平面为， 如果不在内，则可设， ∵，∴，又∵， 于是在平面内过点有两条直线