泰勒展开式.docVIP

函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：?? 问题1：函数f x 在什么条件下可以表示成幂级数；?? 问题2：如果f x 能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn n 0,1,2,3,… 怎样确定？?? 下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f x 在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f x 应有怎样的关系。?? 由于f x 可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x a的邻区内f x 可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ………………………………………………?? 在f x 幂级数式及其各阶导数中，令x a分别得：?? 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f x 在x+a处的泰勒级数.?? 关于泰勒级数的问题?? 上式是在f x 可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f x 在x a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。?? 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f x ？?? 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f x 与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f x 在x a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f x 。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f x 在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理?? 设函数f x 在x a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：?? 此公式也被称为泰勒公式。 在此不加以证明）?? 在泰勒公式中，取a 0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x之间 此式子被称为麦克劳林公式。?? 函数f x 在x 0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即：几种初等函数的麦克劳林的展开式?? 1.指数函数ex 2.正弦函数的展开式 3.函数 1+x m的展开